42 3 Reguläres und irreguläres Verhalten und periodische Bahnen

gen von I statt Ordnungen eines Parameters ε betrachtet. Durch kanonische Transformationen kann man in der lokalen Hamiltonfunktion beträchtliche Vereinfachungen vornehmen. Dabei transformiert man schrittweise alle winkelabhängigen Terme einer gewissen Ordnung I^{k/2} weg. Es verbleiben zunächst nur rein I–abhängige Terme I^{k/2} mit geradem k. Ist die Resonanzbedingung

ε ≡ α_{1} − 2π \frac{l}{m} = 0 (3.102)

hinreichend gut erfüllt, läßt sich also α_{1}/2π gut durch den Bruch l/m approximieren, so bricht die Störungstheorie für den Term

cos (mΦ − 2π \frac{l}{n_{1}} t + Φ_{klm}) (3.103)

zusammen. Wie nun zu zeigen ist, hängt die Form der verbleibenden Resonanzterme von den sich in unmittelbarer Nachbarschaft befindlichen periodischen Bahnen ab. Diese Bahnen nennt man auch Satelliten. Eine Rolle spielen dabei nur jene Satelliten, deren Periode n_{2} ein natürliches Vielfaches der Periode des zunächst betrachteten ”zentralen“ Orbits ist, n_{2} = mn_{1} mit m ∈ ℕ. Ausgehend vom ungestörten, integrablen System (3.99) liegen sie auf gebrochenen rationalen Tori mit stroboskopischer Frequenz ω_{2} = 2π \frac{l}{n_{2}} . Abseits einer Bifurkation bleibt das lokale Verhalten nahezu unberührt. Unter Veränderung eines beliebigen Parameters ändern sich nun die Koeffizienten der lokalen Hamiltonfunktion. Für isolierte Parameterwerte ziehen sich rationale Tori auf den zentralen zusammen — es treten Bifurkationen auf, bei denen Satelliten mit dem zentralen Orbit zusammenfallen. Die Torusfrequenz ω_{1} = \frac{α_{1}}{n_{1}} am zentralen Orbit muß dazu mit ω_{2} identisch sein. Die Bifurkation tritt somit gerade dann auf, wenn die Resonanzbedingung (3.102) erfüllt ist.

Für den Stabilitätsfaktor der zentralen Bahn gilt an der Bifurkation

tr M^{(n_{1})} = 2 cos (2π \frac{l}{m}) (3.104)

und

tr M^{(n_{2})} = 2. (3.105)

Diese universelle Bedingung für das Auftreten einer Bifurkation in der n_{2}–Schritt– Abbildung läßt sich folgendermaßen verstehen: In der Nähe einer Bifurkation gibt es in einem kleinen Bereich des Phasenraums mehrere Punkte, für die die Abbildung 𝔉^{(n_{2})} beinahe die Identität ist. Wir folgern, daß die linearisierte Abbildung in mindestens einer Richtung wie die Identität wirkt. In diese Richtung zeigt mit anderen Worten ein Eigenvektor mit Eigenwert eins. Wegen der Flächenerhaltung muß auch der zweite Eigenwert eins sein, in Übereinstimmung zu (3.105).