Bifurkationen im gemischten Phasenraum 41

3.4.1 Normalformen

Um die verschiedenen Bifurkationstypen zu identifizieren, untersuchen wir die allgemeine lokale Form der Hamiltonfunktion des zugrundeliegenden zeitlich kontinuierlichen Systems in der Umgebung einer periodischen Bahn der primitiven Periode n_{1} und die daraus resultierende stroboskopische Zeitentwicklung. Wir setzen die Beobachtungsperiode T = 1. Als Technik wählen wir wie in Abschnitt 3.3 die Störungstheorie. Der führende Term einer Entwicklung im Abstand zur Bahn ist durch die linearisierte Abbildung bestimmt. So hat man in der Umgebung einer instabilen Bahn mit tr M^{(n_{1})} = 2 cosh(λ_{1})

H_{0} = \frac{λ_{1}}{n_{1}} pq , (3.98)

während eine stabiler Orbit mit tr M^{(n_{1})} = 2 cos α_{1} durch

H_{0} = \frac{α_{1}}{2n_{1}} (p^{2} + q^{2}) (3.99)

beschrieben wird. Zu diesen autonomen Ausdrücken gelangt man, indem man sich auf die periodische Bahn setzt und nur die effektive Dynamik zu den Wiederkehrzeiten betrachtet. Die periodische Bahn erscheint dann als Fixpunkt im Ursprung des Koordinatensystems. (Invers instabile Bahnen lassen sich mit einer transversalen Drehung des Koordinatensystems in jedem Umlauf um π wie gewöhnliche instabile Bahnen behandeln). In erster Näherung ist das System in der Umgebung der Bahn integrabel. Entfernt man sich vom Fixpunkt, so kommen zeitlich periodische Terme höherer Ordnungen in p und q hinzu, die man störungstheoretisch behandeln kann. Im Falle einer instabilen Bahn treten dabei keine Resonanzen auf. Sie ist ja auch nicht von Tori umgeben, wie wir bereits in der Stabilitätsanalyse festgestellt haben. Für einen stabilen Fixpunkt sind die Winkel–Wirkungsvariablen des ungestörten Systems (3.99) die kanonischen Polarkoordinaten I, Φ mit

q = \sqrt{2I} sin Φ ,  p = \sqrt{2I} cos Φ .  (3.100)

Der Ausgangspunkt der Störungstheorie ist eine Fourierreihe in der Zeit und der Winkelvariablen sowie eine Taylorentwicklung im Abstand I^{1/2} zum Fixpunkt,

H = \frac{α_{1}}{n_{1}} I + ∑_{k=3}^{∞} ∑_{l=−∞}^{∞} ∑_{m} V_{klm}I^{k/2} cos (mΦ − 2π \frac{l}{n_{1}} t + Φ_{klm}) . (3.101)

Die Summe über m läuft von −k in Zweierschritten bis k, da nur solche Terme bei der Zerlegung eines Monoms p^{k−m}q^{m} der Ordnung I^{k/2} auftreten. Man geht nun genauso vor wie bei der Störung eines integrablen Systems. Die Stärke der Störung steigt jetzt allerdings mit wachsender Entfernung zur periodischen Bahn, weshalb man Ordnun-