40 3 Reguläres und irreguläres Verhalten und periodische Bahnen

Für den Maslovindex erhält man

ν_{i} = μ̂ + \frac{1}{2} sign a − \frac{1}{2} sign [εb cos(nφ_{i}) + 4εc cos(2nφ_{i} + φ_{0})]

= \{ \begin{matrix}μ̂ & instabile Orbits \\ μ̂ + sign a & stabile Orbits \end{matrix} .  (3.97)

3.4 Bifurkationen im gemischten Phasenraum

Der Zusammenhang zwischen den stabilen periodischen Bahnen und den Stabilitätsinseln sowie den instabilen Bahnen und den irregulären Bereichen im Phasenraum (vgl. Abschnitt 3.1.4) läßt die Bedeutung der periodischen Bahnen für die Natur des dynamischen Verhaltens eines Systems erkennen. In Abbildung 2 gibt es etwa für k = 2.5 unten links einen regulären Bereich, der im Vergleich zu den Abbildungen mit kleinerem k neu hinzugekommen ist. Er rührt von einem neuen stabilen Orbit her, der zusammen mit einem instabilen Partner bei k = 2.45 … entstanden ist. Bei k = 5 ist die Insel bereits wieder verschwunden.

Eine besondere Rolle für den Übergang regulär/irregulär spielen alle Ereignisse, in denen periodische Bahnen neu entstehen, verschwinden, ihre Stabilität wechseln oder sich ihre Konfiguration in anderer Weise qualitativ ändert. All die genannten Ereignisse sind ausnahmslos mit Bifurkationen verknüpft. Mit diesem Wort kennzeichnen wir die Situationen, in denen in Abhängigkeit von einem Kontrollparameter periodische Bahnen im Phasenraum aufeinandertreffen; in unmittelbarer Nachbarschaft der Bifurkation liegen die beteiligten Bahnen eng beieinander.

Wir wollen nun der Frage nachgehen, welche Typen von Bifurkationen wir für unseren Kreisel zu erwarten haben. Es spielt dabei eine Rolle, daß er keine diskreten Symmetrien besitzt und nicht zeitumkehrinvariant ist. Die typischerweise auftretenden Bifurkationen hängen auch von der Zahl der Parameter ab, mit denen man das System steuert. Die Zahl der Parameter, die man im allgemeinen kontrollieren muß, um einen Bifurkationstyp einzustellen, nennt man seine Kodimension. Dies entspricht der Sprechweise für Kaustiken aus Abschnitt 3.1.5. Da wir nur die Kopplungskonstante k verändern, interessieren wir uns zunächst einmal für Bifurkationen der Kodimension eins. Für Systeme ohne jede Symmetrie wurden sie von Meyer und Bruno bestimmt [30,31,33–35]. Bei diskreten Symmetrien und bei Zeitumkehrinvarianz treten die in [71–75] beschriebenen zusätzlichen Fälle auf, auf die wir aber nicht näher eingehen werden.