Das Auseinanderbrechen von Tori 39

und die Beziehung

ν_{σ} − ν_{−σ} = sign(S_{σ} − S_{−σ}) . (3.90)

3.3.2 Doppelt gebrochene Tori

Die Situation wird komplizierter, wenn der Störterm cos(2nΦ − 2mω_{0}t) nicht vernachlässigt werden kann. Um das Geschehen zu analysieren, benutzen wir sogleich die Erzeugende der stroboskopischen Abbildung und betrachten die Normalform

Ŝ(φ′, Δ; n) = S_{0} + φ′Δ − aΔ^{2} − ε[b cos(nφ′) + c cos(2nφ′ + φ_{0})] . (3.91)

Die periodischen Bahnen genügen den Fixpunktgleichungen

Δ = \frac{∂Ŝ}{∂φ′} = Δ + εn[b sin(nφ′) + 2c sin(2nφ′ + φ_{0})] ,  (3.92)

φ′ = \frac{∂Ŝ}{∂Δ} = φ′ − 2aΔ .  (3.93)

Daraus folgt Δ = 0 und

b sin(nφ′) + 2c sin(2nφ′ + φ_{0}) = 0 . (3.94)

Es hängt nun von den Parametern ab, ob 2n oder 4n Lösungen existieren. Den ersten Fall haben wir bereits im vorigen Abschnitt abgehandelt. Treten 4n Lösungen auf, so gehören sie zu vier periodischen Bahnen der primitiven Länge n^{(0)} = n. Wir unterscheiden sie mit dem Index i = 1, 2, 3, 4 und greifen uns für jeden Orbit einen Punkt bei φ_{i} heraus. Die weiteren Punkte entlang der Trajektorie liegen bei φ_{i} + 2π \frac{l}{n} mit l = 1, … n − 1. Die Wirkungen sind

S_{i} = S_{0} − ε[b cos(nφ_{i}) + c cos(2nφ_{i} + φ_{0})] . (3.95)

Die Bahnen haben die Stabilitätsfaktoren

tr M_{i} = 2 + 2aεn^{2} [b cos(nφ_{i}) + 4c cos(2nφ_{i} + φ_{0})] . (3.96)

Zwei Bahnen sind stabil, die anderen beiden instabil. Die vier Koeffizienten εb, εc, φ_{0} und S_{0} lassen sich aus den vier Wirkungen der Bahnen bestimmen. Die Kenntnis eines Stabilitätsfaktors legt den verbleibenden Koeffizienten a in der Normalform fest, so daß die anderen Stabilitätsfaktoren nicht unabhängig sind; ihre wechselseitigen Beziehungen lassen sich allerdings nicht in einer solch einfachen Form wie in (3.88) formulieren.