38 3 Reguläres und irreguläres Verhalten und periodische Bahnen

und

φ(Δ, φ′) = φ′ − nω′T Δ (3.82)

auflösen. Aus den Bestimmungsgleichungen

\frac{∂Ŝ}{∂Δ} = φ ,  \frac{∂Ŝ}{∂φ′} = Δ′  (3.83)

ergibt sich die Erzeugende

Ŝ(Δ, φ′; n) = S_{0} + φ′Δ − nT H(Δ, φ′) = S_{0} + φ′Δ − aΔ^{2} − εb cos(nφ′) . (3.84)

Die Koeffizienten

a = \frac{1}{2}ω′(I_{0})nT ,  b = V (I_{0})nT  (3.85)

hängen in einfacher Weise mit denen in der Hamiltonfunktion zusammen. In dieser Beschreibungsweise liegen die beiden Bahnen erneut bei φ = \frac{l}{n}π, haben aber identische Wirkungsvariablen I_{σ} = I_{0}. Ihre Wirkung ist

S_{σ} = S_{0} − σεb . (3.86)

Die Stabilitätsfaktoren ergeben sich aus (3.34) zu

tr M_{σ}^{(n)} = 2 + 2σεn^{2}ab , (3.87)

in Übereinstimmung mit (3.73). Damit ist die eine Bahn stabil, die andere instabil. Weiter gilt in der angegebenen Ordnung eine feste Relation zwischen den beiden Stabilitätsfaktoren,

tr M_{+}^{(n)} + tr M_{−}^{(n)} = 4 + 𝒪(ε^{2}) . (3.88)

Auf solche Beziehungen werden wir in der Folge noch einige Male treffen. Sie sind nicht streng gültig, sondern werden mit wachsendem ε immer stärker verletzt. Man kann sich von ihnen lösen, indem man Terme höherer Ordnung in der Hamiltonfunktion bzw. der Erzeugenden beibehält und sich so genügend freie Koeffizienten für unabhängige Wirkungen und Stabilitätsfaktoren verschafft. Darauf werden wir in Abschnitt 3.4.3 am Beispiel der Tangentenbifurkation näher eingehen.

Die Morseindizes der beiden eng benachbarten Trajektorien sind gleich, μ̂_{σ} ≡ μ̂. Der Maslovindex bestimmt sich aus den zweiten Ableitungen der Wirkung. Dies wird durch die Gleichungen (3.47) und (3.49) beschrieben. Man erhält

ν_{σ} = μ̂ + \frac{1}{2}(sign a − σ sign εb) (3.89)