Das Auseinanderbrechen von Tori 37

Eine weitere Vereinfachung gelingt, indem man von vornherein um den Torus herum in Δ entwickelt und nur noch

H = \frac{1}{2}ω′(I_{0})Δ^{2} + εV (I_{0}) cos(nψ) (3.74)

betrachtet. Dies ist die Normalform zur Beschreibung des einfachen Aufbrechens rationaler Tori und hat die Gestalt der Hamiltonfunktion eines Pendels. Auch für die Erzeugende Ŝ(Δ, ψ′; nT) in Winkel–Wirkungsvariablen kann man eine Normalform angeben. In den Ordnungen von ε und Δ wollen wir so weit gehen, daß sich aus der Normalform der Stabilitätsfaktor (3.73) reproduzieren läßt. Dazu lösen wir die Bewegungsgleichungen

ψ̇(t) = ω′(I_{0})Δ(t) ,  (3.75)
Δ̇(t) = nεV (I_{0}) sin[nψ(t)]  (3.76)

iterativ und beginnen mit

ψ(t) = ψ(0) + ω′(I_{0})Δ(0)t . (3.77)

Dies setzen wir in (3.76) ein und integrieren auf. Das Ergebnis Δ(t) setzen wir in (3.75) ein und erhalten ein verbessertes ψ(t). Diese beiden Iterationsschritte reichen für unsere Bedürfnisse aus. Im Endergebnis kann man nun geschickt in der Anfangsbedingung Δ ≡ Δ(0) entwickeln und erhält mit ψ ≡ ψ(0)

ψ′ ≡ ψ(nT) = ψ + nω′T Δ + \frac{1}{2}εV n^{3}ω′T^{2} sin (nψ + \frac{1}{2}n^{2}ω′T Δ) ,  (3.78)

Δ′ ≡ Δ(nT) = Δ + εV n^{2}T sin (nψ + \frac{1}{2}n^{2}ω′T Δ) .  (3.79)

Im Argument des Sinus haben wir Δ beibehalten und nicht weiterentwickelt. Mit diesem Trick erreicht man, daß in der vorliegenden Form exakt det M^{(n)} = 1 gilt und man auf dem Weg zur Erzeugenden keine weiteren Näherungen mehr benötigt. Verschiebt man die ψ–Koordinate in einer kanonischen Transformation,

φ = ψ − \frac{1}{2}nω′T Δ ,
φ′ = ψ′ − \frac{1}{2}nω′T Δ′ ,  (3.80)

so kann man (3.78, 3.79) nach

Δ′(Δ, φ′) = Δ + εV n^{2}T sin(nφ′) (3.81)