36 3 Reguläres und irreguläres Verhalten und periodische Bahnen

des Terms mit k = 2 werden wir uns im nächsten Abschnitt zuwenden.) Es genügt in diesem Fall, eine Hamiltonfunktion der Form

H = H_{0}(I) + εV (I) cos(nΦ − mω_{0}t) (3.66)

zu betrachten. In einem rotierenden Koordinatensystem ψ = Φ − \frac{m}{n}ω_{0}t = Φ − ω(I_{0})t lautet sie

H = H_{0}(I) − ω(I_{0})I + εV (I) cos(nψ) . (3.67)

Dies ist ein autonomes System; in der Nähe des Torus ist das System daher quasi integrabel. Man kann nun die periodischen Bahnen der stroboskopischen Abbildung bestimmen. Sie liegen bei

ψ^{(l)} = \frac{l}{n}π , l = 0, 1, …, 2n − 1 ,  (3.68)
ω(I^{(l)}) − ω(I_{0}) + εV′(I^{(l)})σ^{(l)} = 0 ,  mit σ^{(l)} = cos(lπ) = (−1)^{l} . (3.69)

Der Strich an V (und weiter unten auch an ω) bezeichnet die Ableitung nach I. Durch Rücktransformation auf das ruhende System erkennt man, daß in der stroboskopischen Betrachtungsweise die jeweils n Punkte zu geradem oder ungeradem l zu einer Bahn der primitiven Länge n^{(0)} = n gehören: In jedem Abbildungsschritt wird der l–te Punkt in den 2m + l–ten (modulo 2n) überführt. Unter Berücksichtigung der Teilerfremdheit von m und n kommt man erst nach n Schritten wieder zum Ausgangspunkt zurück. Die beiden Bahnen kann man mittels des Werts der Größe σ ≡ σ^{(l)} = ±1 voneinander unterscheiden. Linearisiert man (3.69) in

Δ ≡ I − I_{0} , (3.70)

so liegen die Wirkungsvariablen der periodischen Bahnen bei I_{σ} = I_{0} + Δ_{σ} mit

Δ_{σ} = −σε\frac{V′(I_{0})}{ω′(I_{0})} . (3.71)

Linearisiert man die Bewegungsgleichungen um eine periodische Bahn herum in Δ̃ = I − I_{σ} und δψ = ψ − ψ^{(l)} und behält dabei nur die führende Ordnung in ε,

δψ̇ ≈ ω′(I_{0})Δ̃ ,
˙Δ̃ ≈ σεV n^{2}δψ ,  (3.72)

so folgt der Stabilitätsfaktor

tr M_{σ}^{(n)} = 2 + σεω′(I_{0})V (I_{0})n^{4}T^{2} . (3.73)