Das Auseinanderbrechen von Tori 35

Für die Erzeugende G(I, Θ) der Transformation macht man den Ansatz

G(I, Θ) = IΘ + ε ∑_{m,n=−∞}^{∞} G_{nm}(I) sin(nΘ − mω_{0}t + Θ_{nm}) . (3.61)

Die kanonische Transformation wird durch

\frac{∂G}{∂I} = Φ , \frac{∂G}{∂Θ} = J , H′ = H − \frac{∂G}{∂t} (3.62)

beschrieben. Löst man die beiden ersten Gleichungen in führender Ordnung von ε nach den alten Koordinaten J und Θ auf und setzt diese in den Ausdruck für die neue Hamiltonfunktion ein, so erhält man bis zur ersten Ordnung in ε

H′ = H_{0} + ε ∑_{m,n=−∞}^{∞}[(ωn − ω_{0}m)G_{nm} + V_{nm}] cos(nΦ − mω_{0}t + Θ_{nm}) . (3.63)

Hier ist ω = \frac{∂H_{0}}{∂I} die schon diskutierte Torusfrequenz (3.51). Wählt man nun

G_{nm} = \frac{V_{nm}}{ω_{0}m − ωn} , (3.64)

so verbleiben nur noch Terme der Ordnung ε^{2}. Dies geht jedoch nur, solange nicht die Resonanzbedingung

ωn = ω_{0}m (3.65)

erfüllt ist. Folglich verbleibt zum Beispiel der Term mit m = n = 0. Er hängt nur von I ab und stört nicht die Integrabilität; wir können ihn daher in H_{0} vereinnahmt denken. Aber auch auf einem rationalen Torus bei I ≡ I_{0} ist die Resonanzbedingung wegen (3.54) erfüllt. Dies führt auf die von Poincaré und Birkhoff beschriebene Weise zu seinem Aufbrechen. Die störungstheoretische Behandlung ist nun in der Lage, eine Aussage über die Zahl der dabei beteiligten periodischen Bahnen zu liefern: Beschränkt man sich auf die engste Nachbarschaft eines rationalen Torus, so hängt das dort beobachtete Verhalten qualitativ nur davon ab, welche resonante Harmonische der Störung dominiert. Wir besprechen die beiden einfachsten Fälle. Beim einfachen Aufbrechen treten zwei Bahnen die Nachfolge des rationalen Torus an, beim doppelten Aufbrechen sind es vier.

3.3.1 Einfach gebrochene Tori

In vielen Fällen dominiert in der Nähe des betrachteten Torus mit Frequenz ω = \frac{m}{n}ω_{0} und teilerfremdem \frac{m}{n} der resonante Störterm cos(nΦ − mω_{0}t). Terme der Form cos(knΦ − kmω_{0}t) mit ganzzahligem k > 1 sind also vernachlässigbar. (Der Bedeutung