34 3 Reguläres und irreguläres Verhalten und periodische Bahnen

Umlauf. Jede trägt mit sign ω zum Morseindex bei. Die Zahl der Umläufe ist gerade durch |m| gegeben, und so ist μ̂ = 2m. (Dies gilt wohl unter der Voraussetzung, daß man den Torus wie beim harmonischen Oszillator auf einen Punkt zusammenziehen kann. Ansonsten sind Beiträge geometrischer Phasen denkbar [69,70].)

Im integrablen Fall k = 0 unserer Kreiselvariante ist die Umlauffrequenz ω für jeden Torus gleich dem Drehwinkel Ω (2.31) und für die gewählten Parameter α_{i}, β_{i} kein rationales Vielfaches von 2π. Für die beiden Fixpunkte ±X̃ ist die Frequenz jedoch nicht definiert, da sich der Torus dort auf einen Punkt zusammengezogen hat — diese entarteten Tori sind die einzigen periodischen Bahnen des integrablen Kreisels. Mit den Eigenschaften dieser Bahnen beschäftigen wir uns eingehend in Abschnitt 5.4.1.

3.3 Das Auseinanderbrechen von Tori

Nichtautonome Systeme sind in der Regel nicht integrabel, selbst wenn sie nur einen Freiheitsgrad besitzen. Ein reguläres Systemverhalten wie das gerade geschilderte wird man dann nicht mehr vorfinden. Stört man ein integrables System, so verschwinden in der Regel die Familien periodischer Bahnen auf den rationalen Tori und werden für eine zeitlich periodische Störung in der stroboskopischen Abbildung durch Ketten stabiler und instabiler isolierter periodischer Bahnen abgelöst. Dies ist die zentrale Aussage des Poincaré–Birkhoff–Theorems [32, Kapitel 3.2b]. Es beruht auf rein geometrischen Überlegungen und stellt kein Kriterium bereit, wieviele periodische Bahnen dabei im Spiel sind. Einen Einblick in den genauen Mechanismus erhält man mittels der klassischen Störungstheorie, in die wir hier, auf unsere speziellen Bedürfnisse zugeschnitten, kurz einführen wollen. Das Vorgehen ist auch für das Verständnis von Bifurkationen von grundlegender Bedeutung; insbesondere gilt dies für das Auftreten sogenannter Resonanzen und das Konzept der Normalform, aus der die grundlegenden Eigenschaften periodischer Bahnen abgelesen werden können.

Wir starten mit einem autonomen System und schalten eine zeitlich periodische Störung der Stärke ε ein. In Winkel–Wirkungskoordinaten J, Θ liest sich das wie folgt,

H = H_{0}(J) + εV (J, Θ, t) . (3.59)

Es gelte dabei V (t + T) = V (t). Wir bezeichnen erneut ω_{0} = 2π/T. Mittels einer kanonischen Transformation zu neuen Koordinaten I, Φ soll nun die Störung — so weit möglich — wegtransformiert werden. Dazu führt man zunächst eine Fourierentwicklung in den beiden periodischen Größen t und Θ durch,

V (J, Θ, t) = ∑_{m=−∞}^{∞} ∑_{n=−∞}^{∞} V_{nm}(J) cos(nΘ − mω_{0}t + Θ_{nm}) . (3.60)