Periodische Bahnen bei Integrabilität 33

gegeben, wobei das Integral entlang der erwähnten geschlossenen Linie führt. Hier ist S der Wert der üblichen Hamiltonschen Wirkungsfunktion (3.4) für einen Umlauf der Trajektorie. Die Beziehung zu I folgt aus ∫_{0}^{𝒯} Iφ̇ dt = 𝒯ωI = 2πI und der Invarianz des Flächeninhalts W des durch den Torus eingeschlossenen Gebiets unter kanonischen Transformationen. Es gilt weiter

\frac{∂H}{∂I} = ω = \frac{2π}{𝒯} (3.53)

in Übereinstimmung mit der bekannten Beziehung \frac{∂W}{∂E} = 𝒯.

In einer stroboskopischen Betrachtungsweise mit Beobachtungsperiode T gelangt man im Falle eines integrablen Systems nach n stroboskopischen Schritten zum Ausgangspunkt zurück, falls die Frequenz (3.51) des Torus, auf dem man startet, der Beziehung nT = m𝒯 oder auch

ωn = ω_{0}m (3.54)

genügt. Dabei haben wir die Bezeichnung ω_{0} = 2π/T eingeführt. Der gesamte invariante Torus ist dann durch periodische Bahnen der Länge n ausgefüllt. Setzen wir für die stroboskopische Periode T = 1, so muß ω = 2π \frac{m}{n} ein rationales Vielfaches von 2π sein. Man spricht auch in diesem Fall von einem rationalen invarianten Torus.

Aus (3.52) folgt

2πI = S + H(I)𝒯 (3.55)

und daraus die Erzeugende

S̃(φ′, φ; t) = \frac{t}{𝒯} S = ω(I)It − H(I)t . (3.56)

Nach einer Legendretransformation erhält man die Erzeugende Ŝ in gemischten Variablen

Ŝ(φ′, I; nT) = I(φ′ + 2πm) − nT H(I) . (3.57)

Sie beschreibt tatsächlich die richtige stroboskopische Zeitentwicklung,

I′ = \frac{∂Ŝ}{∂φ′} = I ,  φ = \frac{∂Ŝ}{∂I} = φ′ − nT ω + 2πm .  (3.58)

Hier ist m so festgelegt, daß φ′ wie φ in [0, 2π) verbleibt.

Der Stabilitätsfaktor für einen geschlossenen Umlauf ist tr M = 2. Wir wollen nun noch den Morseindex bestimmen. Parametrisiert man den Torus in kartesischen Koordinaten q = \sqrt{2I} sin φ, p = \sqrt{2I} cos φ, so ist auf dem Torus H = \frac{ω}{2}(p^{2} + q^{2}). Der harmonische Oszillator hat Kaustiken von Ŝ zu den Zeiten cos(ωt) = 0, also zwei je