32 3 Reguläres und irreguläres Verhalten und periodische Bahnen

denen es genausoviele unabhängige Erhaltungsgrößen E_{i}(q, p) wie Freiheitsgrade f gibt, wobei ihre Poissonklammern sowohl mit der Hamiltonfunktion als auch untereinander alle verschwinden, {H, E_{i}} = {E_{i}, E_{j}} = 0. Die Phasenraumtrajektorien sind dann auf f–dimensionale Mannigfaltigkeiten eingeschränkt, die durch einen geeigneten Satz von f Gleichungen I_{i} = const beschrieben werden können. Die Mannigfaltigkeiten haben in der Regel die Topologie eines Torus und können dann mit 2π–periodischen Winkeln φ_{i} parametrisiert werden. Auf jedem dieser invarianten Tori ist die Dynamik quasiperiodisch, φ_{i}(t) = φ_{i}(0) + ω_{i}(I)t. Die Frequenzen ω_{i} hängen im allgemeinen von den Konstanten I_{i} ab, sind also von Torus zu Torus verschieden. Sind die Frequenzen kommensurabel, so ist der gesamte Torus von periodischen Bahnen ausgefüllt, die damit eine f–dimensionale Familie bilden. Einen solchen Torus nennt man einen rationalen invarianten Torus.

Eine spezielle Symmetrie ist die Energieerhaltung autonomer Systeme. Alle autonomen Systeme mit einem Freiheitsgrad sind daher integrabel, mit der Hamiltonfunktion H(q, p) als der benötigten Konstanten der Bewegung. Die oben erwähnten Eigenschaften wollen wir nun für diesen speziellen Fall konkretisieren. So wollen wir die kanonische Transformation (q, p) → (φ, I) finden, nach der die Hamiltonfunktion nur vom neuen Impuls in Gestalt der Wirkungsvariablen I abhängt, während die sogenannte Winkelvariable φ zyklisch ist. Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen sind dann trivial: Die Wirkung I bleibt zeitlich konstant, während der Winkel mit gleichfalls konstanter, durch die Wirkung festgelegter Rate

φ̇ = \frac{∂H}{∂I} ≡ ω(I) (3.51)

anwächst. Ist das zugängliche Phasenraumvolumen beschränkt (etwa aufgrund von Energieerhaltung in einem Potentialtopf), so sind es auch die Koordinaten p(I, φ) und q(I, φ). Der Winkel φ wächst mit der Zeit jedoch unbegrenzt an, so daß q und p periodisch in φ sein müssen, solange man nicht auf einer Separatrix sitzt, d. h. solange man nicht asymptotisch für betragsmäßig große Zeiten in einen instabilen Fixpunkt hineinläuft. Als Periode kann man 2π wählen. Wie im allgemeinen f–dimensionalen Fall hat die Linie konstanter Energie also die Topologie eines (nun eindimensionalen) Torus. Alle Trajektorien folgen diesen Linien und sind zeitlich periodisch. Wir bezeichnen die Umlaufdauer mit 𝒯. Sie ist in der Regel von Torus zu Torus verschieden und kann als Funktion der Energie aufgefaßt werden.

Die Torusfrequenz ω(I) wird bei der Diskussion der periodischen Bahnen und ihrer Bifurkationen von zentraler Bedeutung sein.

Die Wirkungsvariable I = W/(2π) ist durch die verkürzte Wirkung

W (E) = ∮ p dq = S + E𝒯 (3.52)