Periodische Bahnen bei Integrabilität 31

Hier ist G die Matrix

G = ( \begin{matrix}\frac{∂^{2}Ŝ}{∂q^{′2}} & 1 − \frac{∂^{2}Ŝ}{∂q′∂p} \\ 1 − \frac{∂^{2}Ŝ}{∂q′∂p} & \frac{∂^{2}Ŝ}{∂p^{2}} \end{matrix} ) = \frac{1}{M_{11}} ( \begin{matrix}M_{21} & M_{11} − 1 \\ M_{11} − 1 & −M_{12} \end{matrix} ) , (3.48)

und

sign G = sign \frac{2 − tr M}{M_{21}} + sign \frac{M_{21}}{M_{11}}
= − sign \frac{2 − tr M}{M_{12}} − sign \frac{M_{12}}{M_{11}}  (3.49)

bezeichnet die Differenz der Zahl ihrer positiven und negativen Eigenwerte. Diese Beziehungen ergeben sich aus der Kombination der Gleichungen (3.40, 3.41) mit (3.47).

Den Ausdrücken sieht man zwar nicht an, daß sie kanonisch invariant sind, sie sind jedoch von großem praktischen Nutzen.

Für den Kreisel bestimmt man den Maslovindex etwa aus dem Morseindex μ̄. Dann erhält man mit dem Ergebnis und der Notation des vorigen Abschnitts

2ν = − ∑_{i=0}^{n−1} (sign M̃_{21}(q_{i}, p_{i}) + sign M̃_{21}(Q_{i}, P_{i}) − sign \frac{M_{21}^{(1)}(q_{i}, p_{i})}{M̃_{21}(Q_{i}, P_{i})M̃_{21}(q_{i}, p_{i})})

+ ∑_{i=1}^{n−1} sign \frac{M_{21}^{(i+1)}(q_{0}, p_{0})}{M_{21}^{(1)}(q_{i}, p_{i})M_{21}^{(i)}(q_{0}, p_{0})} − sign \frac{2 − tr M^{(n)}}{M_{21}^{(n)}(q_{0}, p_{0})} .  (3.50)

Sind alle Matrixelemente M_{21} positiv, so ist ν = −\frac{1}{2}[1+sign(2−tr M^{(n)})]. Jedes Element geht in zwei Terme der Form \frac{1}{2} sign x ein. Ändert man das Vorzeichen eines beliebigen Matrixelements, so ändert sich ν um zwei. Deshalb ist der Maslovindex von instabilen Bahnen mit tr M > 2 eine gerade und der von stabilen und invers instabilen Bahnen eine ungerade Zahl.

3.2 Periodische Bahnen bei Integrabilität

Die Zahl der Fixpunktgleichungen in (3.1) ist identisch mit der Zahl der Unbekannten. Im allgemeinen sind Orbits also isoliert. Gibt es jedoch Erhaltungsgrößen, so findet man im allgemeinen Familien von Lösungen: Nach dem Noetherschen Theorem erzeugen die Erhaltungsgrößen eine kontinuierliche Klasse kanonischer Transformationen, die das Systemverhalten nicht berühren; mittels dieser Transformationen erhält man aus einer Lösung viele weitere. Dies hat Konsequenzen insbesondere für integrable Systeme, bei