30 3 Reguläres und irreguläres Verhalten und periodische Bahnen

Nun kann man den Morseindex für einen Schritt 𝔉^{(1)} = 𝔉̃_{2} ∘ 𝔉̃_{1} berechnen und weiter den gesamten Morseindex für 𝔉^{(n)} zusammensetzen. Um das Ergebnis zu formulieren, bezeichnen wir die Koordinaten entlang der Trajektorie mit (q_{i}, p_{i}) = 𝔉^{(i)}(q_{0}, p_{0}), i = 0, 1, …, n. Für periodische Bahnen gilt q_{0} = q_{n}, p_{0} = p_{n}. Weiter führen wir die ”Zwischenkoordinaten“ (Q_{i}, P_{i}) ≡ 𝔉̃_{1}(q_{i}, p_{i}) ein. Dann erhält man

2μ̄ = − ∑_{i=0}^{n−1} (sign M̃_{21}(q_{i}, p_{i}) + sign M̃_{21}(Q_{i}, P_{i}) − sign \frac{M_{21}^{(1)}(q_{i}, p_{i})}{M̃_{21}(Q_{i}, P_{i})M̃_{21}(q_{i}, p_{i})})

+ ∑_{i=1}^{n−1} sign \frac{M_{21}^{(i+1)}(q_{0}, p_{0})}{M_{21}^{(1)}(q_{i}, p_{i})M_{21}^{(i)}(q_{0}, p_{0})} .  (3.46)

3.1.6 Der Maslovindex

Der Maslovindex ist eine kanonisch invariante Größe topologischer Natur und steht im Zusammenhang mit sogenannten Windungszahlen [59–67,7,10]. Dazu denkt man sich einen Tangentenvektor, der entlang einer periodischen Bahn mitgeführt wird und nach einem Umlauf wieder die anfängliche Orientierung haben soll. Man erhält dadurch eine Trajektorie im Tangentialraum des Phasenraums. Wir betrachten nur die Projektion senkrecht zur Trajektorie. Identifiziert man die Tangentialräume entlang der Trajektorie durch eine geeignete Vorschrift des Paralleltransports, so dreht sich der Vektor im Kreise. Die Zahl der Umdrehungen ist die Windungszahl. Im Falle einer instabilen Bahn ist der Maslovindex das Doppelte der Windungszahl der Tangente an die stabile oder instabile Mannigfaltigkeit [68]. (Beide Windungszahlen sind gleich.) Er wächst demnach linear mit der m–ten Wiederkehr des Orbits.

Bei stabilen Bahnen ist der Maslovindex mit dem Stabilitätswinkel α verknüpft. Der genaue Zusammenhang ist recht kompliziert, insbesondere auch sein Verhalten für die m–te Wiederkehr. Wir verzichten auf die Darstellung von Details (eine semiklassische Interpretation findet sich etwa in [10]). Der Maslovindex läßt sich nämlich bequem aus dem Morseindex und der Stabilitätsmatrix berechnen. Wir geben hier eine Vorschrift an, die unabhängig von der Natur der Bahn und für beliebige Wiederkehr gilt. Sie lautet unter Benutzung von (3.29)

ν = μ̃ + \frac{1}{2} sign \frac{(2 − tr M)}{M_{12}} = μ̃ − \frac{1}{2} sign \frac{d^{2}S̃(q, q)}{dq^{2}}
= μ̂ − \frac{1}{2} sign G
= μ̄ − \frac{1}{2} sign \frac{(2 − tr M)}{M_{21}} = μ̄ − \frac{1}{2} sign \frac{d^{2}S̄(p, p)}{dp^{2}} .  (3.47)