Eigenschaften periodischer Bahnen 29

Wie noch zu diskutieren sein wird, ist die linearisierte Abbildung M auch in der Nähe von Bifurkationen periodischer Bahnen nahe an der Identität. Man befindet sich also bei Kaustiken von S̃ und S̄. Wir werden dann erneut Ŝ den Vorzug geben.

Auch der Morseindex zusammengesetzter Abbildungen läßt sich — wie schon die Wirkung und die linearisierte Abbildung — aus den Größen der einzelnen Teilschritte bestimmen. Wir bezeichnen mit dem hochgestellten Symbol ^{(i)} Morseindex und linearisierte Abbildung der Teilabbildungen eines zusammengesetzten Schritts 𝔉 = 𝔉^{(2)} ∘𝔉^{(1)}, wobei die Abbildungen 𝔉^{(i)} beliebig sein können. Der Morseindex μ̄ des zusammengesetzten Schritts ist dann zum Beispiel

μ̄ = μ̄^{(2)} + μ̄^{(1)} + \frac{1}{2} sign \frac{M_{21}}{M_{21}^{(2)}M_{21}^{(1)}} . (3.42)

Der dritte Term ändert sein Vorzeichen an den Kaustiken der beiden Teilschritte und an denen des zusammengesetzten Schritts. Dies geschieht so, daß die Beiträge zu μ̄^{(i)} beim Überschreiten der Kaustiken in den Teilschritten gerade kompensiert werden. Betrachten wir dazu eine Kaustik im zweiten Teilschritt: In der Regel ist dort keine Kaustik des zusammengesetzten Schritts; für M_{21}^{(2)} = 0 gilt M_{21} = M_{21}^{(1)}M_{11}^{(2)}. Der dritte Term hat damit tatsächlich die benötigte Form \frac{1}{2} sign M_{11}^{(2)}/M_{21}^{(2)}. Bei einer Kaustik des zusammengesetzten Schritts gilt weiter

M_{21} = M_{21}^{(1)}M_{11}^{(2)} + M_{22}^{(1)}M_{21}^{(2)} = 0 . (3.43)

Man rechnet nun nach, daß der Vorzeichenwechsel von M_{21}/M_{11} unter Berücksichtigung dieser Beziehung tatsächlich mit dem des dritten Terms übereinstimmt. (In die Rechnung fließt erneut det M^{(i)} = 1 ein.) Auf ähnliche Weise zeigt man weitere Beziehungen wie etwa die später noch benötigte Formel

μ̂ = μ̂^{(1)} + μ̃^{(2)} − \frac{1}{2} sign \frac{M_{11}}{M_{11}^{(1)}M_{12}^{(2)}} . (3.44)

(Hier gehen die beiden Teilschritte formal nicht gleichberechtigt ein.)

Mit der Beziehung (3.42) kann man eine handliche Formel für das Kreiselsystem erhalten. Betrachten wir zunächst die Abbildung 𝔉̃ und die ihr zugrundeliegende zeitlich kontinuierliche Dynamik mit der Hamiltonfunktion (2.21) für t ∈ [0, T_{2}): Das Matrixelement M_{21}(t) = Y sin(βt/T_{1}) verrät, daß während der Drehung (t ∈ [0, T_{1})) für |β| < π keine Kaustik überschritten wird; dies gilt auch während der folgenden Torsion, da das Matrixelement in t ∈ [T_{1}, T_{2}) konstant ist. Es verbleibt die triviale Kaustik bei t = 0. Der Morseindex für den Teilschritt lautet daher

μ̄(t → 0^{+}) = μ̄(t = T_{1}) = −\frac{1}{2} sign M̃_{21} . (3.45)