28 3 Reguläres und irreguläres Verhalten und periodische Bahnen

Behandlung semiklassischer Matrixelemente des Floquetoperators in Abschnitt 4.1.3 mit Sinn erfüllt werden.

Der Morseindex ist keine kanonisch invariante Größe. Auch ist die Lage der Kaustiken für jede Erzeugende verschieden. Die Bedingung ist jeweils, daß die gemischten Ableitungen divergieren,

(\frac{∂^{2}Ŝ}{∂q′∂p})^{−1} = M_{11} = 0 (3.38)

sowie

(\frac{∂^{2}S̄}{∂p′∂p})^{−1} = M_{21} = 0 . (3.39)

Der Morseindex μ̂ zu Ŝ zählt jede Kaustik entsprechend dem Vorzeichenwechsel von M_{11}/M_{21}, der Morseindex μ̄ zu S̄ entsprechend dem Vorzeichenwechsel von −M_{21}/M_{11}. Betrachtet man wieder einen kleinen Schritt über die Kaustik, so ist als Inkrement sign M_{12} bzw. − sign M_{21} zu nehmen.

Es verbleibt, den Morseindex zu Beginn der Trajektorie festzulegen. Eine spezielle Kaustik ist der gesamte Definitionsbereich für S̃(q′, q; 0) ≡ 0. Dies liegt daran, daß man die identische Abbildung nicht mittels der Koordinaten q und q′ beschreiben kann, da sie in diesem Fall nicht unabhängig voneinander sind. Die Erzeugende Ŝ(q′, p; 0) = q′p hat dagegen keine Kaustiken. Der Morseindex μ̂ verschwindet hier per Definition. Die anderen Indizes ergeben sich zu

μ̃ = μ̂ − \frac{1}{2} sign \frac{∂q}{∂p}|_{q′} = μ̂ + \frac{1}{2} sign \frac{M_{12}}{M_{11}} (3.40)

und

μ̄ = μ̂ − \frac{1}{2} sign \frac{∂p′}{∂q′} |_{p} = μ̂ − \frac{1}{2} sign \frac{M_{21}}{M_{11}} . (3.41)

Diese Beziehungen sind leicht einzusehen, wenn man sich vor Augen hält, daß der rechte Term sowohl an den Kaustiken von Ŝ als auch von S̃ (bzw. S̄) sein Vorzeichen wechselt. Dies geschieht so, daß die Beiträge der Kaustiken zu μ̂ gerade kompensiert werden: Für M_{11} = 0 gilt nämlich wegen det M = 1 die Beziehung M_{12} = −(M_{21})^{−1}. Andererseits ist an den Kaustiken von S̃ oder S̄ die Beziehung M_{11} = (M_{22})^{−1} erfüllt, so daß dort der Vorzeichenwechsel des letzten Terms für das richtige Verhalten von μ̃ und μ̄ sorgt.

Mit diesen Regeln ist μ̂ ganzzahlig; μ̃ und μ̄ sind halbzahlig. Durch die Beziehungen (3.40) und (3.41) erhält man die Morseindizes μ̃ und μ̄ für kleine Zeiten und kann dann die Kaustiken zählen. Sie gelten aber auch für beliebige Zeiten, so daß es reicht, einen Index und die linearisierte Abbildung zu bestimmen; die anderen Indizes sind dann festgelegt.