Eigenschaften periodischer Bahnen 27

Abbildung 4: Links: Teilstück der aus q = const zur Zeit Null hervorgegangenen Linie p′(q′) zu einer späteren Zeit t. Rechts: Die zugehörige funktionale Form der Erzeugenden. Die Umkehrpunkte der Linie links entsprechen den Falten der Erzeugenden rechts.

auf die q′–Achse und Variation der Anfangsbedingung q die Kaustik. Sie ist also eine eindimensionale Struktur im q-q′–Raum.

In der Nähe der Kaustik gilt \frac{∂S̃}{∂q′} = p′ ∼ ±q^{′1/2}. Dies führt zu einer q′–Abhängigkeit der Erzeugenden gemäß der Normalform S̃(q′) ∼ ±q^{′3/2} für festes q und t. Die Funktionsäste der Erzeugenden stoßen, wie in Abbildung 4 rechts dargestellt, in einer ”Falte“ aufeinander. Betrachtet man Kurvenscharen S̃(q′) mit Scharparameter q oder t, so stoßen die Falten in einer anderen Art von Singularität zusammen, den sogenannten ”Spitzen“. Allgemein lassen sich die verschiedenen Singularitäten anhand ihrer Kodimension klassifizieren, der Differenz der Dimensionen der betrachteten Mannigfaltigkeit und der singulären Untermannigfaltigkeit. Die Falte hat Kodimension eins, die Spitze Kodimension zwei. Diese Sprechweisen stammen aus der Katastrophentheorie [50,51].

Das lokale Verhalten der Erzeugenden in der Nähe der Singularitäten der Lagrangeschen Mannigfaltigkeit kann auch in den anderen Fällen auf Normalformen zurückgeführt werden [30,57]. Verwandte Konzepte werden bei der Behandlung von Bifurkationen von Bedeutung sein.

Man führt gerne eine topologische Größe ein, die das Überschreiten von Kaustiken zählt, den Morseindex μ̃. Dabei hält man die Anfangswerte q und p einer Trajektorie fest und betrachtet die daraus resultierende Entwicklung q(t), p(t). Jedesmal, wenn die Trajektorie eine Kaustik kreuzt, ändert sich der Index um ±1, und zwar entsprechend dem Vorzeichenwechsel von M_{12}/M_{22}: Der Morseindex vergrößert sich um eins, wenn diese Größe an der Kaustik positiv wird; im umgekehrten Fall verkleinert er sich entsprechend. Keinen Beitrag erhält man jedoch, wenn sich das Vorzeichen aufgrund von M_{22} = 0 verändert, da dort keine Kaustik liegt. Man kann die Orientierung übrigens auch aus einer Abbildung bestimmen, die in einem infinitesimalen Schritt über die Kaustik führt. Der Morseindex verändert sich dann entsprechend der linearisierten Abbildung M des kleinen Schritts um sign M_{12}. Die Vorzeichenkonvention wird bei der