26 3 Reguläres und irreguläres Verhalten und periodische Bahnen

3.1.5 Kaustiken und der Morseindex

Zu vorgegebenen Randwerten können keine, eine oder mehrere Trajektorien existieren, die Erzeugenden sind daher im allgemeinen mehrwertige Funktionen. Die Funktionsäste stoßen auf den sogenannten Kaustiken zusammen, die Gebiete mit verschiedener Zahl von Lösungen im Definitionsbereich der Erzeugenden voneinander abgrenzen. Dieser Begriff ist in Anlehnung an gewisse optische Phänomene gewählt, bei denen die Lösungen Lichtstrahlen sind und die Kaustiken etwa auf einem Schirm als Licht– Schattengrenzen sichtbar gemacht werden können [50,58].

Auf der Kaustik sind mehrere Lösungen entartet, die abseits davon verschieden voneinander sind oder zum Teil gar nicht existieren. Wir wollen dies zunächst anhand der Erzeugenden S̃(q′, q; t) diskutieren. Man kann die Situation auf der Kaustik in diesem Fall folgendermaßen beschreiben: Gegeben sei eine Trajektorie mit Randwerten q und q′ sowie mit dem Anfangsimpuls p. Ändert man p infinitesimal und hält q konstant, so bleibt q′ unverändert — die infinitesimal benachbarte Trajektorie erfüllt ebenfalls die Randbedingungen. Man stellt sich auch gerne ein Bündel von Trajektorien vor, die sich im Anfangsimpuls unterscheiden und im Konfigurationsraum zunächst auseinanderlaufen, schließlich aber wieder aufeinandertreffen. In diesem Sinne spricht man auch von einem Brennpunkt der Trajektorie.

Faßt man die gerade geschilderte infinitesimale Verrückungsvorschrift in eine Formel, so leitet sich daraus die Bedingung

\frac{∂q′}{∂p} |_{q} = M_{12} = − (\frac{∂^{2}S̃}{∂q′∂q} )^{−1} = 0 (3.36)

her. Hier ist M die Matrix der linearisierten Abbildung. Dies bedeutet in einer anderen Lesart, daß die natürlichen Koordinaten q und q′ von S̃ lokal nicht unabhängig voneinander sind.

Der Impuls p′ der infinitesimal benachbarten Trajektorie wird gleichfalls infinitesimal verschoben sein. Dies führt auf die äquivalente Bedingung

\frac{∂p′}{∂q′} |_{q} = \frac{M_{22}}{M_{12}} = \frac{∂^{2}S̃}{∂q^{′2}} = ∞ . (3.37)

Natürlich wollen wir fordern, daß Matrixelemente von M beschränkt bleiben, und stellen so die Gleichwertigkeit zu (3.36) sicher. Folgende Interpretation ist üblich: Für gegebenes q und t beschreibt die Funktion S̃(q′, q; t) eine stückweise mit q′ parametrisierte Linie im Phasenraum, (q′, p′ = \frac{∂S̃}{∂q′}). (Bei mehreren Freiheitsgraden erhält man eine Lagrangesche Mannigfaltigkeit.) Sie geht dynamisch durch Propagation aus der Linie q = const zur Zeit Null hervor. In Abbildung 4 ist links ein typisches Teilstück der Linie gezeichnet. Sie hat dort die implizite funktionale Form q′ = p^{′3} − p′. Die Punkte, an denen die Steigung dieser Linie divergiert, bilden dann unter Projektion