Eigenschaften periodischer Bahnen 25

Abbildung 3: Phasenraumportrait (links) sowie stabile und instabile Mannigfaltigkeiten (rechts) in der Umgebung einer Stabilitätsinsel

torien vom Orbit weg. Er tangiert die sogenannte instabile Mannigfaltigkeit, die von jenen Punkten gebildet wird, von denen ausgehend der Orbit für t → −∞ asymptotisch erreicht wird.

Stabile und instabile Mannigfaltigkeiten können sich schneiden. Startet man von einem Schnittpunkt, so erreicht man sowohl für t → +∞ als auch für t → −∞ einen Orbit. Ist dies beidemale derselbe, so spricht man von einem homoklinen Orbit, ansonsten von einem heteroklinen. Jeder weitere Punkt auf der Trajektorie ist ebenfalls ein Schnittpunkt der stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten. Das Verständnis der sich ergebenden komplizierten Topologie der Mannigfaltigkeiten durch Poincaré stand am Anbeginn der Erforschung chaotischer Systeme. Dies führt auf die bekannten Hufeisenstrukturen sich immer stärker windender Mannigfaltigkeiten und auf irreguläres, ausgedehntes Verhalten, also zum Auftreten chaotischer Seen in Phasenraumportraits. Man begreift den Gegensatz zu den geschachtelten Ellipsen in der Nähe stabiler Bahnen, die quasi eindimensionales dynamisches Verhalten beschreiben.

Abbildung 3 zeigt links einen Ausschnitt des Phasenraumportraits vom Kreisel für k = 3.6. Dort leben eine instabile und eine stabile Bahn der Länge drei und eine stabile Bahn der Länge eins. Man erkennt deutlich die Inseln um die stabilen Orbits, mit der des Periode–eins–Orbits im Zentrum. Rechts sind die stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten des instabilen Periode–drei–Satelliten eingezeichnet. Auf den direkten Verbindungslinien seiner Phasenraumtrajektorie liegen beide Mannigfaltigkeiten praktisch aufeinander. Die Teilstücke, die den stabilen Satelliten umschließen, falten sich mit der Rückkehr zum instabilen Orbit. Dabei füllen sie den im Phasenraumportrait sichtbaren chaotischen Bereich allmählich aus.