24 3 Reguläres und irreguläres Verhalten und periodische Bahnen

bestimmt. Er ist invariant unter kanonischen Transformationen. Von Nutzen werden noch die Beziehungen

tr M^{(n)} = − (\frac{∂^{2}S̃}{∂q′∂q} )^{−1} (\frac{∂^{2}S̃}{∂q^{′2}} + \frac{∂^{2}S̃}{∂q^{2}})  (3.33)

= (\frac{∂^{2}Ŝ}{∂q′ ∂p})^{−1} (1 + \frac{∂^{2}Ŝ}{∂q′ ∂p} \frac{∂^{2}Ŝ}{∂q′ ∂p} − \frac{∂^{2}Ŝ}{∂q^{′2}} \frac{∂^{2}Ŝ}{∂p^{2}})  (3.34)

= − (\frac{∂^{2}S̄}{∂p′∂p})^{−1} (\frac{∂^{2}S̄}{∂p^{′2}} + \frac{∂^{2}S̄}{∂p^{2}})  (3.35)

sein, in denen der Stabilitätsfaktor durch die erzeugenden Funktionen ausgedrückt wird. Damit ist die Stabilität der periodischen Bahnen mit dem Krümmungsverhalten der Funktionen S̃(q, q; n), S̄(p, p; n) und Ŝ(q′, p; n) − q′p an den Extrema (3.16, 3.18, 3.19) verknüpft. Es ergibt sich unter anderem, daß an den Minima und Maxima der noch zu besprechenden Normalformen für Ŝ(q′, p; n) − q′p für den Stabilitätsfaktor tr M^{(n)} < 2 gilt, während man an den Sätteln tr M^{(n)} > 2 hat.

3.1.4.1 Stabile periodische Bahnen

Für | tr M^{(n)}| < 2 sind die beiden Eigenwerte komplex und vom Betrag eins, man kann also λ_{±} = exp[iα] schreiben und erhält dann tr M^{(n)} = 2 cos α. Auch die Eigenvektoren sind komplex und zueinander konjugiert. Die klassische Stabilitätsanalyse ergibt, daß die im Phasenraum benachbarten Trajektorien auf Ellipsen um die periodische Bahn springen, und zwar mit der stroboskopischen Frequenz α, die man auch den Stabilitätswinkel nennt. Alle Stabilitätsinseln haben daher einen stabilen periodischen Orbit in ihrem Mittelpunkt. Man spricht bei diesen Orbits auch von elliptischen periodischen Bahnen.

3.1.4.2 Instabile periodische Bahnen

Für | tr M^{(n)}| > 2 sind die beiden Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren reell. Es gibt zwei Fälle: Die Eigenwerte einer gewöhnlichen instabilen Bahn sind positiv, λ_{±} = exp[±γ], und es gilt tr M^{(n)} = 2 cosh γ. Bei einer invers instabilen Bahn sind sie negativ, lassen sich also in der Form λ_{±} = − exp[±γ] schreiben, und man hat tr M^{(n)} = −2 cosh γ. Wir wählen den Instabilitätsexponenten γ positiv. In enger Umgebung der periodischen Bahn verläuft die Dynamik auf Hyperbeln. Man spricht daher auch von hyperbolischen Bahnen. In Richtung des Eigenvektors zu λ_{−} laufen Trajektorien auf den Orbit zu. Alle Punkte, die für t → +∞ asymptotisch den Orbit erreichen, bilden die sogenannte stabile Mannigfaltigkeit. Der genannte Eigenvektor tangiert diese Mannigfaltigkeit am Orbit. In Richtung des anderen Eigenvektors laufen die Trajek-