Eigenschaften periodischer Bahnen 23

Die linearisierte Abbildung läßt sich auch durch die zweiten Ableitungen der erzeugenden Funktionen ausdrücken. Die Beziehungen lauten

M_{11} = −\frac{∂^{2}S̃}{∂q^{2}} (\frac{∂^{2}S̃}{∂q′∂q} )^{−1} = (\frac{∂^{2}Ŝ}{∂q′∂p})^{−1} = −\frac{∂^{2}S̄}{∂p^{′2}} (\frac{∂^{2}S̄}{∂p′∂p})^{−1}  (3.29)

M_{12} = − (\frac{∂^{2}S̃}{∂q′∂q} )^{−1} = −\frac{∂^{2}Ŝ}{∂p^{2}} (\frac{∂^{2}Ŝ}{∂q′∂p})^{−1} = \frac{∂^{2}S̄}{∂p^{′2}} \frac{∂^{2}S̄}{∂p^{2}} (\frac{∂^{2}S̄}{∂p′∂p})^{−1} − \frac{∂^{2}S̄}{∂p′∂p}

M_{21} = \frac{∂^{2}S̃}{∂q′∂q} − \frac{∂^{2}S̃}{∂q^{′2}} \frac{∂^{2}S̃}{∂q^{2}} (\frac{∂^{2}S̃}{∂q′∂q} )^{−1} = \frac{∂^{2}Ŝ}{∂q^{′2}} (\frac{∂^{2}Ŝ}{∂q′∂p})^{−1} = (\frac{∂^{2}S̄}{∂p′∂p})^{−1}

M_{22} = −\frac{∂^{2}S̃}{∂q^{′2}} (\frac{∂^{2}S̃}{∂q′∂q} )^{−1} = \frac{∂^{2}Ŝ}{∂q′∂p} − \frac{∂^{2}Ŝ}{∂q^{′2}} \frac{∂^{2}Ŝ}{∂p^{2}} (\frac{∂^{2}Ŝ}{∂q′∂p})^{−1} = −\frac{∂^{2}S̄}{∂p^{2}} (\frac{∂^{2}S̄}{∂p′∂p})^{−1}.

3.1.4 Die Stabilität periodischer Bahnen

Für Systeme mit einem Freiheitsgrad gibt es zwei Typen isolierter periodischer Bahnen, stabile und instabile. Sie unterscheiden sich durch das Verhalten der Trajektorien, die im Phasenraum unmittelbar benachbart sind. Zur Diskussion ziehen wir die linearisierte n–Schritt–Abbildung M^{(n)} zurate und führen eine klassische Stabilitätsanalyse durch. Am Phasenraumpunkt einer periodischen Bahn nennt man die linearisierte Abbildung auch die Stabilitäts- oder Monodromiematrix.

Da die Abbildung 𝔉^{(n)} flächenerhaltend ist und somit det M^{(n)} = 1 gilt, sind die beiden Eigenwerte von M^{(n)} zueinander reziprok. Die Säkulargleichung

det(M^{(n)} − λ) = 1 − λ tr M^{(n)} + λ^{2} = 0 (3.30)

ist ein reelles Polynom zweiten Grades mit den beiden Wurzeln

λ_{±} = \frac{1}{2} tr M^{(n)} ± \sqrt{\frac{1}{4}(tr M^{(n)})^{2} − 1} . (3.31)

Das dynamische Verhalten in unmittelbarer Nachbarschaft der periodischen Bahn wird also durch den Stabilitätsfaktor

tr M^{(n)} = \frac{∂q′}{∂q} |_{p} + \frac{∂p′}{∂p} |_{q} (3.32)