22 3 Reguläres und irreguläres Verhalten und periodische Bahnen

Wir fassen diese 2 × 2–Matrix als Funktion der Anfangswerte p und q auf und notieren ganz allgemein

M = ( \begin{matrix}M_{11} & M_{12} \\ M_{21} & M_{22} \end{matrix} ) . (3.25)

Die Flächenerhaltung der Abbildung 𝔉 schlägt sich in der Eigenschaft det M = 1 nieder. Die linearisierte Fassung der Abbildung über n Perioden schreibt sich mithilfe der Kettenregel als Matrixprodukt

M^{(n)}(q, p) = \frac{∂𝔉^{(n)}(q, p)}{∂(q, p)} = M (𝔉^{(n−1)}(q, p)) · M (𝔉^{(n−2)}(q, p)) ⋯ M(q, p) . (3.26)

Auch M(q, p) = M̃ (𝔉̃_{1}(q, p)) · M̃(q, p) selbst setzt sich auf ähnliche Weise aus den linearisierten Fassungen

M̃ = ( \begin{matrix}\frac{∂q̃}{∂q}|_{p} & \frac{∂q̃}{∂p}|_{q} \\ \frac{∂p̃}{∂q}|_{p} & \frac{∂p̃}{∂p}|_{q} \end{matrix} ) (3.27)

der Teilabbildungen 𝔉̃(α, k; β) (2.26–2.28) zusammen. Wir erinnern daran, daß 𝔉̃_{1} den ersten Teilschritt bezeichnet.

In der Darstellung des Ergebnisses für den Kreisel erweist es sich als angebracht, die kartesischen Koordinaten X vor und X′ nach dem Teilschritt hinzuzuziehen, um kompakte Formeln zu erhalten. Sie lauten

M̃_{22} = cos β + \frac{XZ}{1 − Z^{2}} sin β ,
M̃_{21} = Y sin β ,
M̃_{12} = kM_{22} − \frac{M_{21}}{(1 − Z^{2})(1 − Z^{′2})} ,

M̃_{11} = kM_{21} + \frac{cos β − ZZ′}{1 − Z^{′2}} .  (3.28)

Es fällt auf, daß die Ausdrücke explizit unabhängig von α sind, dieser Parameter also nur über die Trajektorie einfließt.