Eigenschaften periodischer Bahnen 21

Wir bezeichnen die Wirkung für die primitive Periodenlänge mit S^{(0)}. Dann ist die Wirkung für die m–te Wiederkehr S = mS^{(0)}.

Um für den Kreisel die Wirkung einer periodischen Bahn zu bestimmen, ziehen wir etwa die Erzeugende S̃(q′, q; n) heran. Dabei steht es uns frei, geeignetere Koordinaten anstelle von Anfangs- und Endort zu wählen, um ein kompakteres Resultat als (3.14) für den Beitrag eines jeden Teilschritts 𝔉̃ zu erhalten. Wir werden dies hier sogleich herleiten: Teilen wir das Integrationsintervall im definierenden Zeitintegral

S^{(0)} = ∫_{0}^{n^{(0)}T} (pq̇ − H) dt (3.21)

mit der Hamiltonfunktion (2.21) in die bekannten vier Teilstücke für jeden Abbildungsschritt 𝔉^{(1)} ein, so setzt sich die Wirkung additiv aus Beiträgen von Drehungen um die y- und Torsionen um die z–Achse zusammen. Man bestimmt nun q̇ aus den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen und setzt eine Lösung dieser Gleichungen in den Integranden ein. Eine Drehung um die y–Achse liefert dann den Beitrag

S_{y} ≡ −Y ∫_{0}^{β} \frac{1}{1 − (Z cos t − X sin t)^{2}} dt

= arctan (\frac{X}{Y Z} ) − arctan (\frac{X′}{Y′Z′} ) ,  (3.22)

wobei die ungestrichenen Größen die Koordinaten vor und die gestrichenen jene nach dem Teilschritt bezeichnen. Dabei ist Y = Y′. Der Drehwinkel taucht in dieser Schreibweise nur implizit auf. Für verschwindenden Drehwinkel verschwindet auch der Beitrag zur Wirkung, während er etwa für eine Drehung um 2π gerade −2π sign Y beträgt. Damit ist ein Wechsel des Funktionszweiges des Arkustangens verbunden. Den richtigen Zweig erhält man in jedem Fall, indem man den Winkel kontinuierlich von Null bis auf seinen Endwert hochdreht. Torsionen liefern Beiträge

S_{z} ≡ \frac{k}{2}Z^{2} , (3.23)

wobei ein linearer Drehwinkel um die z–Achse nicht in Erscheinung tritt. Drückt man die Koordinaten in den entsprechenden Anfangs- und Endorten bzw. -impulsen aus, so ergeben sich aus diesen Ergebnissen auch die Erzeugenden (3.14) und (3.11).

3.1.3 Die linearisierte Abbildung

Die linearisierte Abbildung lautet

M = \frac{∂𝔉(q, p)}{∂(q, p)} . (3.24)