20 3 Reguläres und irreguläres Verhalten und periodische Bahnen

zu sein, da p′(q′, q) nur als Lösung einer impliziten Gleichung bestimmt ist. Will man aber bloß den Wert von S̃ für eine konkrete Trajektorie wissen, ist also p′ bereits bekannt, so kann man ohne weiteres auf die angegebene Form zurückgreifen.

Kommen wir nun wieder zu den periodischen Bahnen zurück. Die Fixpunktgleichungen q = q′, p = p′ [vgl. Gln. (3.1) und (3.2)] lassen sich in der Form

p′(q′, q) − p(q′, q) = \frac{∂S̃}{∂q′} + \frac{∂S̃}{∂q} = 0 ,  q = q′  (3.15)

schreiben. Die linke Seite der ersten Gleichung wird dabei als Funktion der beiden natürlichen Veränderlichen q und q′ von S̃ aufgefaßt, die gemäß der zweiten Beziehung gleichgesetzt werden müssen. Man kann q und q′ auch direkt in S̃ gleichsetzen und erhält dann

\frac{dS̃(q, q; n)}{dq} = 0 . (3.16)

Analog erhält man die äquivalenten Bestimmungsgleichungen

\frac{∂S̄}{∂p′} + \frac{∂S̄}{∂p} = 0 ,  p = p′ ,  (3.17)

oder auch

\frac{dS̄(p, p; n)}{dp} = 0 , (3.18)

sowie

\frac{∂Ŝ}{∂p} = q′ ,  \frac{∂Ŝ}{∂q′} = p .  (3.19)

Die periodischen Bahnen stellen sich somit als Extrema der Funktionen S̃(q, q; n), S̄(p, p; n) und Ŝ(q′, p; n) − q′p dar.

3.1.2 Die Wirkung periodischer Bahnen

Die Wirkung S einer periodischen Bahn ist durch das Integral (3.4) gegeben, wobei entlang ihrer Trajektorie integriert wird. Dadurch erhält man eine kanonisch invariante Größe. Per Definition ist die Wirkung gleich dem Wert der Erzeugenden S̃(q, q; n) an der Stelle des Fixpunkts. Es gilt dort S̄(p, p; n) = S̃(q, q; n), man kann also auch den Wert der Erzeugenden S̄(p′, p; n) benutzen. Auch aus der Erzeugenden Ŝ kann man die Wirkung gewinnen,

S = Ŝ(q, p; n) − qp . (3.20)