Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis iv

Tabellenverzeichnis vii

1 Einleitung und Übersicht 1

2 Der periodisch getriebene Kreisel 5

2.1 Quantenmechanische Beschreibungsweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.1 Die Drehimpulsalgebra und der Hilbertraum . . . . . . . . . . . . 5 2.1.2 Die stroboskopische Beschreibung periodisch getriebener Systeme 6 2.1.3 Unsere Kreiselvariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Das klassische Gegenstück . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.1 Der Phasenraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.2 Klassische stroboskopische Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2.3 Eine Reise von Integrabilität zu ausgeprägtem Chaos . . . . . . . 13

3 Reguläres und irreguläres Verhalten und periodische Bahnen 17

3.1 Eigenschaften periodischer Bahnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.1.1 Die erzeugenden Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.1.2 Die Wirkung periodischer Bahnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.1.3 Die linearisierte Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.1.4 Die Stabilität periodischer Bahnen . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.1.5 Kaustiken und der Morseindex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.1.6 Der Maslovindex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Periodische Bahnen bei Integrabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3 Das Auseinanderbrechen von Tori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3.1 Einfach gebrochene Tori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3.2 Doppelt gebrochene Tori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4 Bifurkationen im gemischten Phasenraum . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.4.1 Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.4.2 Von der Normalform zu den Eigenschaften bifurkierender Bahnen 44 3.4.3 Tangentenbifurkationen (m = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.4.4 Periodenverdopplungen (m = 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.4.5 Periodenverdreifachungen (m = 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.4.6 Periodenvervierfachungen (m = 4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.4.7 Höhere Periode–m–Bifurkationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.5 Aufeinanderfolgende Bifurkationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.5.1 Zwei benachbarte Tangentenbifurkationen . . . . . . . . . . . . . 54 3.5.2 Periodenverdopplung und Tangentenbifurkation . . . . . . . . . . 57