Eigenschaften periodischer Bahnen 19

Man erhält Ŝ aus S̃ durch eine Legendretransformation,

Ŝ(q′, p; n) = S̃(q′, q(q′, p); n) + q(q′, p)p . (3.8)

Wir werden im folgenden bei der konkreten Anwendung auf den Kreisel auch mit der Erzeugenden

S̄(p′, p; n) = Ŝ(q′(p′, p), p; n) − q′(p′, p)p′ (3.9)

arbeiten, die aus Ŝ durch eine weitere Legendretransformation hervorgeht und die Lösungen des Randwertproblems p_{0} = p, p_{n} = p′ beschreibt,

\frac{∂S̄}{∂p′} = −q′, \frac{∂S̄}{∂p} = q . (3.10)

Sie ist, wie sich noch zeigen wird, semiklassisch aufs Engste mit der Wahl der Eigenzustände |j, m⟩ von J^{2} und J_{z} als Basis im Hilbertraum verknüpft (vgl. Abschnitt 4.1.3).

Auch für den Fall, daß eine Abbildung aus der Abfolge mehrerer Teilschritte besteht, setzt sich der Wert der Erzeugenden additiv aus Beiträgen der Teilschritte zusammen. Wir wollen das ausnutzen, indem wir für unsere Kreiselvariante nur die einfachere Abbildung 𝔉̃ (2.26–2.28) betrachten, für die die Erzeugende bereits in anderen Arbeiten [25] hergeleitet wurde. Man erhält

S̄(p′, p) = −σ sign(sin β) arccos \frac{cos β − p′p}{\sqrt{1 − p^{2}}\sqrt{1 − p^{′2}}} + \frac{k}{2}p^{′2} − q′p′ + qp  (3.11)

mit

q = σ arccos \frac{p cos β − p′}{sin β\sqrt{1 − p^{2}}} ,  (3.12)

q′ = σ arccos \frac{p − p′ cos β}{sin β\sqrt{1 − p^{′2}}} + kp′ + α .  (3.13)

Es gibt zwei Funktionsäste, die sich durch σ = sign Y unterscheiden und auf diese Weise durch das Vorzeichen der kartesischen Y –Koordinate des skalierten Drehimpulsvektors vor dem Teilschritt festgelegt sind.

Von geringerem praktischen Nutzen erscheint auf den ersten Blick die rein ortsabhängige Wirkung

S̃(q′, q) = −σ sign(sin β) arccos [ cos(q′ − α − kp′) cos q
+ sin(q′ − α − kp′) sin q cos β] + \frac{k}{2}p^{′2}  (3.14)