18 3 Reguläres und irreguläres Verhalten und periodische Bahnen

3.1.1 Die erzeugenden Funktionen

Man kann die zeitliche Entwicklung des Systems über n Perioden hinweg auch durch eine kanonische Transformation

(q′, p′) ≡ 𝔉^{(n)}(q, p) → (q, p) (3.2)

beschreiben. So wird man auf die sogenannten erzeugenden Funktionen geführt, von denen es vier Varianten gibt. Sie sind alle mit der Formulierung der Bewegungsgleichungen als Randwertproblem verknüpft, wobei jeweils ein Anfangsort oder -impuls und ein Endort oder -impuls vorgegeben sind. In dieser Arbeit werden drei Varianten wichtig, die Funktion S̃(q′, q; n), die Funktion Ŝ(q′, p; n) und schließlich die Funktion S̄(p′, p; n). Die vierte Form Š(p′, q; n) spielt keine Rolle.

Wir betrachten zunächst die Erzeugende S̃(q′, q; n) und damit die Lösungen des Randwertproblems q_{0} = q, q_{n} = q′ der Hamiltonschen Bewegungsgleichungen. Die Erzeugende beschreibt die Lösungen mittels der Beziehungen

\frac{∂S̃}{∂q′} = p′, \frac{∂S̃}{∂q} = −p . (3.3)

Der Funktionswert von S̃ ist durch die Hamiltonsche Wirkungsfunktion

S̃(q′, q; n) = ∫_{t_{0}}^{t_{0}+nT} [pq̇ − H(q, p, t)] dt (3.4)

gegeben, wobei entlang einer Trajektorie integriert wird, die den erwähnten Randbedingungen genügt. Gemäß ihres Funktionswerts setzt sich die Erzeugende S̃(q′, q; n) additiv aus S̃(q′, q; 1) zusammen,

S̃(q′, q; n) = S̃(q_{n}, q_{n−1}; 1) + S̃(q_{n−1}, q_{n−2}; 1) + … + S̃(q_{1}, q_{0}; 1) . (3.5)

Hier gehen als Hilfsgrößen die Zwischenkoordinaten q_{i}(q, q′) entlang der Trajektorie ein. Tatsächlich erfüllt S̃(q′, q; n) in dieser Form die Beziehungen (3.3). Dies zeigt man unter Verwendung der Identität

p_{i} = \frac{∂S̃(q_{i}, q_{i−1}; 1)}{∂q_{i}} = −\frac{∂S̃(q_{i+1}, q_{i}; 1)}{∂q_{i}} . (3.6)

Sie gilt unter der hier erfüllten Bedingung, daß die q_{i} auf einer Trajektorie liegen. Die Funktion Ŝ(q′, p; n) löst das Randwertproblem p_{0} = p, q_{n} = q′ vermittels

\frac{∂Ŝ}{∂q′} = p′, \frac{∂Ŝ}{∂p} = q . (3.7)