Eigenschaften periodischer Bahnen 17

3 Reguläres und irreguläres Verhalten und periodische Bahnen

Dieses Kapitel vermittelt einen tieferen Einblick in das dynamische Verhalten unseres Kreiselsystems. Wir orientieren uns dabei an den Notwendigkeiten der angestrebten semiklassischen Bestimmung der Quasienergien und stellen die später benötigten Kenntnisse bereit. Es werden aber auch recht allgemeine Aspekte getriebener klassischer Systeme mit einem Freiheitsgrad diskutiert [30–32,57].

Unser Interesse gilt insbesondere dem Übergang von regulärem, integrablem zu irregulärem, ausgeprägt chaotischem Verhalten. Am deutlichsten spiegelt sich das Systemverhalten in Phasenraumportraits wider, wie wir sie bereits an Beispielen für den Kreisel diskutiert haben. Der angesprochene Übergang läßt sich mittels der Betrachtung der periodischen Bahnen im Phasenraum wesentlich erhellen. Im integrablen Fall treten die periodischen Bahnen in Familien auf. Läßt man eine kleine nichtintegrable Störung zu, so werden die Familien durch Paare periodischer Bahnen ersetzt. Verändert man die Kopplungskonstanten weiter, kommt man schließlich in den Bereich ausgeprägt chaotischen Verhaltens. Das Schicksal der periodischen Bahnen auf dem Weg dorthin, einschließlich ihres Entstehens und Vergehens, wird vor allem von Bifurkationen geprägt, an denen sie mit anderen periodischen Bahnen zusammentreffen.

3.1 Eigenschaften periodischer Bahnen

Periodische Bahnen, im folgenden des öfteren auch Orbits genannt, sind Trajektorien, auf denen das System nach einer gewissen (hier: stroboskopischen) Zeit n, der Periode der Bahn, wieder in seinen ursprünglichen Zustand zurückkehrt. Die primitive Periode n^{(0)} ist die Zeit, nach der das System zum ersten Mal wieder zu seinem Ausgangspunkt zurückgelangt. Eine periodische Bahn besteht somit aus n^{(0)} gleichberechtigten Punkten im Phasenraum.

Die periodischen Bahnen der Länge n sind die Lösungen der Fixpunktgleichung

𝔉^{(n)}(q, p) = (q, p) . (3.1)

Alle Bahnen der Länge n sind auch Bahnen der Länge mn, m ∈ ℕ. Man nennt die Bahn der Länge n = mn^{(0)} auch die m–te Wiederkehr der periodischen Bahn.

Periodische Bahnen werden — abgesehen von ihrer primitiven Periode — im wesentlichen durch drei Größen charakterisiert, die alle invariant unter kanonischen Transformationen sind, also von der speziellen Wahl der Orts- und Impulskoordinaten nicht abhängen. Dies sind die Wirkung S, der Stabilitätsfaktor tr M und der Maslovindex ν. Sie leiten sich aus den erzeugenden Funktionen her.