Das klassische Gegenstück 13

zusammen, mit

p̃(p, q) = p cos β − \sqrt{1 − p^{2}} cos q sin β ,  (2.27)
q̃(p, q) = arg [\sqrt{1 − p^{2}}(cos q cos β + i sin q) + p sin β] + α + kp̃(p, q) .  (2.28)

Abbildung 1 illustriert die Wirkung verschiedener Kombinationen von Drehungen und Torsionen auf ein Gitter im Phasenraum.

2.2.3 Eine Reise von Integrabilität zu ausgeprägtem Chaos

Ein durch einen einzelnen Dreh- oder Torsionsterm beschriebener Kreisel verhält sich regulär, da er auch als stroboskopisch betrachtetes System mit autonomer Hamiltonfunktion betrachtet werden kann. In der Kombination von Drehungen und Torsionen jedoch zeigt sich im allgemeinen irreguläres, nichtintegrables Verhalten. Um dies zu veranschaulichen, wählen wir feste Werte der Drehwinkel, β_{1} = −\frac{π}{2}, α_{1} = 0.3, β_{2} = 1.0+ \frac{π}{2}, α_{2} = 0.8, und fassen k ≡ k_{2} = 10 k_{1} als einen frei verfügbaren Kontrollparameter auf. Wir betrachten also die Abbildung

𝔉(k) = 𝔉̃ (0.8, k; 1.0 + \frac{π}{2} ) ∘ 𝔉̃ (0.3, 0.1k; −\frac{π}{2} ) , (2.29)

später auch den zugehörigen Floquetoperator

F (k) = F̃ (0.8, k; 1.0 + \frac{π}{2} ) F̃ (0.3, 0.1k; −\frac{π}{2} ) . (2.30)

Für k = 0 beschreibt 𝔉 eine gewöhnliche Drehung, für die gewählten Parameter um den Winkel

Ω = 1.1936 … (2.31)

bezüglich der Achse

X̃ = (0.114 …, −0.868 …, −0.484 …) . (2.32)

Die Projektion des Drehimpulses auf X̃ bleibt konstant; die stroboskopischen Trajektorien folgen den dadurch festgelegten kreisförmigen Höhenlinien.

In Abbildung 2 wird oben links die Situation für k = 0 anhand eines Phasenraumportraits verdeutlicht. Es ergibt sich, wenn man das Schicksal des Systems aus verschiedenen Anfangsbedingungen heraus eine endliche Zeit lang beobachtet. Man erhält den Eindruck sehr regulären Verhaltens. Die Trajektorien winden sich auf den Höhenlinien um die beiden Punkte ±X̃, an denen die Drehachse die Einheitskugel durchstößt. Sie bilden die Fixpunkte der klassischen Abbildung.