12 2 Der periodisch getriebene Kreisel

2.2.2 Klassische stroboskopische Dynamik

Die stroboskopische zeitliche Entwicklung (q_{n}, p_{n}) ≡ (q(t_{0} + nT), p(t_{0} + nT)) des klassischen Systems leitet sich aus der Betrachtung des durch die Hamiltonfunktion

H(q, p, t) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{T_{1}} β_{1}\sqrt{1 − p^{2}} sin q & 0 ≤ t < T_{1} \\ \frac{1}{T_{2}} (\frac{k_{1}}{2} p^{2} + α_{1}p) & T_{1} ≤ t < T_{1} + T_{2} \\ \frac{1}{T_{3}} β_{2}\sqrt{1 − p^{2}} sin q & T_{1} + T_{2} ≤ t < T − T_{3} \\ \frac{1}{T_{4}} (\frac{k_{2}}{2} p^{2} + α_{2}p) & T − T_{3} ≤ t < T \end{matrix}  (2.21)

beschriebenen zeitlich kontinuierlichen Systems her. Die Lösungen der Hamiltonschen Bewegungsgleichungen

\frac{∂H}{∂p} = q̇, \frac{∂H}{∂q} = −ṗ (2.22)

definieren eine bijektive Abbildung des Phasenraums auf sich selbst,

𝔉^{(1)} : (q, p) → (q′, p′) ≡ 𝔉^{(1)}(q, p) , (2.23)

die für gegebene Anfangsbedingungen q, p die Endkoordinaten q′, p′ nach dem Verstreichen einer Periode T liefert. Aus den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen folgt, daß diese Abbildung flächenerhaltend ist. Die stroboskopische zeitliche Entwicklung ergibt sich durch wiederholte Anwendung der Abbildung (2.23) für eine Periode,

(p_{n+1}, q_{n+1}) = 𝔉^{(1)}(p_{n}, q_{n}) . (2.24)

Die Abbildung 𝔉^{(n)}

𝔉^{(n)} : (p_{0}, q_{0}) → (p_{n}, q_{n}) = 𝔉^{(n)}(p_{0}, q_{0}) (2.25)

beschreibt die Dynamik über n Perioden hinweg und ergibt sich durch die n–fache Anwendung der ein–Schritt–Abbildung gemäß der Verknüpfung 𝔉^{(n)} = 𝔉^{(n−1)} ∘ 𝔉^{(1)}.

Bei der Kreiselvariante setzt sich die Abbildung 𝔉^{(1)} = 𝔉̃_{2} ∘ 𝔉̃_{1} in Analogie zum Floquetoperator erneut aus zwei einfacheren Teilschritten

𝔉̃_{i} ≡ 𝔉̃(α_{i}, k_{i}; β_{i}) : (q, p) → (q̃(q, p), p̃(q, p)) ≡ 𝔉̃_{i}(q, p) (2.26)