Das klassische Gegenstück 11

Das klassische System wird weiter wie gewöhnlich durch eine Hamiltonfunktion H und die Bewegungsgleichungen Ȧ = {H, A} beschrieben. Die klassische Hamiltonfunktion

H(X, t) = Ĥ(JX, t)/J = \{ \begin{matrix}\frac{1}{T_{1}} β_{1}Y & 0 ≤ t < T_{1} \\ \frac{1}{T_{2}} (\frac{k_{1}}{2} Z^{2} + α_{1}Z) & T_{1} ≤ t < T_{1} + T_{2} \\ \frac{1}{T_{3}} β_{2}Y & T_{1} + T_{2} ≤ t < T − T_{3} \\ \frac{1}{T_{4}} (\frac{k_{2}}{2} Z^{2} + α_{2}Z) & T − T_{3} ≤ t < T \end{matrix} (2.19)

ergibt sich dabei aus dem Hamiltonoperator (2.15) im wesentlichen durch die Ersetzung der Operatoren durch die klassischen Observablen; allerdings muß man noch mit J skalieren, um einen endlichen Ausdruck zu erhalten. Nun verstehen wir auch die Skalierung der Torsionsstärke k im Torsionsoperator (2.11) und im Hamiltonoperator (2.15).

Als Konsequenz der Erhaltung der Drehimpulslänge gilt X^{2} = 1. Der Phasenraum des erhaltenen klassischen Systems ist mithin die Oberfläche der Einheitskugel, S^{2}. Wir wollen nun kanonisch konjugierte Orts- und Impulskoordinaten bestimmen. Dazu halten wir fest, daß unter den Abbildungen (2.17, 2.18) das natürliche Flächenelement dΩ auf der Kugeloberfläche erhalten bleibt. Dies gilt auch für ganz allgemeine Drehimpulsdynamiken. Da man alle kanonischen Transformationen auch durch die zeitliche Entwicklung eines geeigneten Systems beschreiben kann, ist das Flächenelement infolgedessen eine kanonische Invariante. In Kugelkoordinaten

X = (sin ϑ cos φ, sin ϑ sin φ, cos ϑ) (2.20)

lautet es dΩ = dφ∧d cos ϑ. Dies erlaubt es, den Azimutwinkel φ ≡ q als verallgemeinerten Ort und die z–Komponente Z = cos ϑ ≡ p von X als dazu kanonisch konjugierten Impuls aufzufassen. Diese kanonischen Variablen werden wir im folgenden immer wieder benutzen.