10 2 Der periodisch getriebene Kreisel

über eine Periode setzt sich — wie der Floquetoperator zuvor — aus einer Abfolge von Drehungen und Torsionen zusammen, gemäß der Verknüpfung

𝔉 = 𝔉_{z}(α_{2}, k_{2}) ∘ 𝔉_{y}(β_{2}) ∘ 𝔉_{z}(α_{1}, k_{1}) ∘ 𝔉_{y}(β_{1}) (2.16)

der Abbildungsvorschriften

𝔉_{y}(β) : ( \begin{matrix}X \\ Y \\ Z \end{matrix} ) → ( \begin{matrix}X cos β + Z sin β \\ Y \\ −X sin β + Z cos β \end{matrix} ) (2.17)

und

𝔉_{z}(α, k) : ( \begin{matrix}X \\ Y \\ Z \end{matrix} ) → ( \begin{matrix}X cos(α + kZ) − Y sin(α + kZ) \\ X sin(α + kZ) + Y cos(α + kZ) \\ Z \end{matrix} ) . (2.18)

Wir wollen das klassische System nun genauer kennenlernen und uns etwa mit der Struktur des Phasenraums samt den dynamischen und algebraischen Eigenschaften der klassischen Observablen näher beschäftigen. Unser Ziel ist zunächst, kanonisch konjugierte Orte und Impulse zu identifizieren. Ausgehend von einer bestimmten Koordinatenwahl formulieren wir dann erneut die stroboskopische Abbildung 𝔉. Schließlich betrachten wir Phasenraumportraits und gewinnen so einen qualitativen Einblick in das dynamische Verhalten. Die Untersuchung des klassischen Systems setzen wir in Kapitel 3 in Hinblick auf ein tieferes Verständnis seines dynamischen Verhaltens fort.

2.2.1 Der Phasenraum

Wie schon die quantenmechanischen Operatoren und der Hilbertraum ist auch die geometrisch–algebraische Struktur des klassischen Systems im wesentlichen durch die Drehimpulsalgebra festgelegt, die nun {X, Y } = Z, etc., lautet. Hier sind mit { , } die Poissonklammern gemeint. Sie gehen in üblicher Weise durch die Ersetzung [ , ] → \frac{i}{J} \{ , \} aus den Kommutatoren hervor.