Das klassische Gegenstück 9

quem in der |j, m⟩–Basis bestimmen, in der die Torsionen bereits diagonal sind. Die Rotationsoperatoren R_{y}, auch bekannt unter dem Namen Wignersche d–Matrizen, erhält man in dieser Basis mit geringem Aufwand durch die Anwendung von Rekursionsformeln, wie etwa in [25] ausführlich diskutiert ist.

Auch unserem Kreisel kann man ein zeitlich kontinuierliches System zugrundelegen. Bei der Herleitung einiger Ergebnisse wird sich dies als nutzbringend erweisen. Verschiedene Hamiltonoperatoren können dasselbe stroboskopische Verhalten erzeugen. Wir verfügen daher über ein gewisses Maß an Freiheit. Vorteilhaft ist die Wahl eines ”stückweise autonomen“ Hamiltonoperators. Dazu unterteilen wir das Periodenintervall in vier Teilstücke der Längen T_{i} mit ∑_{i=1}^{4} T_{i} = T. Während eines jeden dieser Zeitabschnitte soll der Hamiltonoperator zeitunabhängig sein und abwechselnd entweder eine lineare Drehung um die y–Achse oder eine nichtlineare Drehung um die z–Achse beschreiben,

Ĥ(J, t) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{T_{1}} β_{1}J_{y} & 0 ≤ t < T_{1} \\ \frac{1}{T_{2}} (\frac{k_{1}}{2j + 1}J_{z}^{2} + α_{1}J_{z}) & T_{1} ≤ t < T_{1} + T_{2} \\ \frac{1}{T_{3}} β_{2}J_{y} & T_{1} + T_{2} ≤ t < T − T_{3} \\ \frac{1}{T_{4}} (\frac{k_{2}}{2j + 1}J_{z}^{2} + α_{2}J_{z}) & T − T_{3} ≤ t < T \end{matrix} . (2.15)

Den Floquetoperator erhält man über die Halbgruppeneigenschaft (2.5) aus den Operatoren U(T_{1}; 0) = R_{y}(β_{1}), U(T_{1} + T_{2}; T_{1}) = R_{z}(α_{1})T_{z}(k_{1}), U(T − T_{3}; T_{1} + T_{2}) = R_{y}(β_{2}) und U(T; T − T_{3}) = R_{z}(α_{2})T_{z}(k_{2}).

2.2 Das klassische Gegenstück

Im klassischen Grenzfall großer Hilbertraumdimension 2j + 1 ≡ 2J → ∞ kommutieren die Komponenten der skalierten Größe X̂ = J/J bis auf eine verschwindende Korrektur, [X̂_{k}, X̂_{l}] = \frac{i}{J} ε_{klm}X̂_{m}. Man kann sie daher als klassische Observablen X = (X, Y, Z) auffassen. Der Parameter J spielt also die Rolle des Inversen der Planckschen Konstanten, während wir bereits in (2.1) formal ℏ = 1 gesetzt haben. Allgemeine Eigenschaften von Systemen, deren klassischer Grenzfall für große Hilbertraumdimension erreicht wird, sind etwa in [56] beschrieben.

Den direktesten Zugang zur klassischen stroboskopischen Dynamik wählt man, indem man ins Heisenbergbild wechselt und in der stroboskopischen Quantenabbildung X̂(nT) = F^{†}^{n}X̂(0)F^{n} formal von den reskalierten Drehimpulsoperatoren X̂ zu den c– Zahlen X übergeht. Die dadurch erhaltene klassische stroboskopische Abbildung 𝔉