8 2 Der periodisch getriebene Kreisel

Wir wollen nun den Floquetoperator definieren und stellen dazu erst einmal kurz seine beiden grundlegenden Bestandteile vor: Dies sind zum einen Drehungen um den Winkel β bezüglich der Achse i = x, y, z. Sie werden durch den unitären Operator

R_{i}(β) = exp [−iβJ_{i}] (2.10)

beschrieben. (Es sei daran erinnert, daß die Komponenten J_{i} die Generatoren der Drehgruppe sind.) Zum anderen haben wir Torsionen der Stärke k, worunter man Drehungen bezüglich einer Achse i versteht, bei denen der Drehwinkel linear von der momentanen i–Komponente des Drehimpulses abhängt. (Wir greifen hier der klassischen Interpretation vor.) Der entsprechende Operator lautet

T_{i}(k) = exp [−i\frac{k}{2j + 1}J_{i}^{2}] . (2.11)

Er ist zwar kein Element der Drehgruppe, aber ein Element der Darstellungsgruppe U(N) der unitären Transformationen im Hilbertraum. Die Erzeugenden dieser Gruppe sind die hermiteschen Operatoren, welche wiederum die Observablen des Systems beschreiben. Auch Potenzen und Summen hermitescher Operatoren sind hermitesch — der Generator von T_{i}(k) ist daher für gegebenes j bzw. N wohldefiniert. Wie sich noch zeigen wird, garantiert die Skalierung der Torsionsstärke k mit 2j+1 ein wohldefiniertes Verhalten im klassischen Grenzfall.

Unser Floquetoperator hat nun die konkrete Form

F = R_{z}(α_{2})T_{z}(k_{2})R_{y}(β_{2}) · R_{z}(α_{1})T_{z}(k_{1})R_{y}(β_{1})
≡ F̃(α_{2}, k_{2}; β_{2}) · F̃(α_{1}, k_{1}; β_{1})  (2.12)

und ist somit das Produkt zweier (durch · voneinander abgesetzter) formal gleicher, einfacherer Operatoren

F̃(α, k; β) = R_{z}(α)T_{z}(k)R_{y}(β)
= exp [−iαJ_{z} − i\frac{k}{2j + 1}J_{z}^{2}] exp [−iβJ_{y}] .  (2.13)

Wir benutzen die Abkürzung

F̃_{i} = F̃(α_{i}, k_{i}; β_{i}) ,  (2.14)

um an vielen Stellen Schreibarbeit zu sparen.

Sowohl in der klassischen als auch in der Quantenmechanik vereinfacht sich durch geschickte Koordinaten- bzw. Basiswahl die Behandlung der (im Vergleich zu den Drehungen komplizierteren) Torsionen erheblich. Der Floquetoperator läßt sich etwa be-