Quantenmechanische Beschreibungsweise 7

telt. Dies ist der sogenannte Floquetoperator. In einer stroboskopischen, d. h. zeitlich diskreten Betrachtungsweise beschreibt dieser Operator die Entwicklung eines Systemzustands mittels

|ψ(nT)⟩ = F^{n}|ψ(0)⟩ (2.8)

und verknüpft so den Zustand |ψ(nT)⟩ des Systems zur Zeit nT, n ∈ ℤ, mit dem zur Zeit Null.

Da auch F unitär ist, liegen seine Eigenwerte in der komplexen Ebene auf dem Einheitskreis und lassen sich in der Form exp[−iφ] schreiben. Die reellen Eigenphasen φ sind nur modulo 2π bestimmt; es läßt sich etwa φ ∈ [0, 2π) fordern. Wir gehen von einem Hilbertraum endlicher Dimension N aus, so daß die Eigenwerte diskret sind; wir numerieren die Phasen φ_{k} mit dem Index k = 1, 2, …, N und bezeichnen die zugehörigen Eigenzustände mit |φ_{k}⟩. Es sei also

F |φ_{k}⟩ = e^{−iφ_{k}}|φ_{k}⟩ . (2.9)

Befindet sich das System in einem Eigenzustand des Floquetoperators, so bleiben die Erwartungswerte ⟨ψ(nT)|Â|ψ(nT)⟩ aller Meßgrößen Â stroboskopisch konstant. Man bezeichnet die Eigenzustände daher auch als ”quasistationäre Zustände“, die Phasen φ_{k} nennt man in analoger Weise ”Quasienergien“ und ihre Gesamtheit das ”Quasienergiespektrum“.

2.1.3 Unsere Kreiselvariante

Wir betrachten einen Kreisel, der während jeder Periode eine Abfolge von Drehungen und Torsionen um die Koordinatenachsen durchführt. Er zeichnet sich für allgemeine Wahl der Kopplungskonstanten durch die Abwesenheit aller geometrischen Symmetrien aus und ist auch nicht zeitumkehrinvariant. Es sei bereits erwähnt, daß sein klassisches Gegenstück im allgemeinen einen gemischten Phasenraum besitzt und für große Torsionsstärken ausgeprägt chaotisches Verhalten aufweist. Floquetoperatoren dieser Art waren aus diesem Grund schon häufig Gegenstand ”quantenchaotischer“ Untersuchungen [19–29]. So lassen sich viele statistische Eigenschaften des Quasienergiespektrums im Rahmen der Zufallsmatrixtheorie [21,52–54] beschreiben (siehe zum Beispiel [55]). Die Matrixelemente des Floquetoperators können zudem auch auf semiklassischem Wege bestimmt werden. So hat man bereits recht genaue semiklassisch genäherte Spektren erhalten [24,25]. Auch in dieser Arbeit werden wir uns dem Spektrum des Floquetoperators mittels einer semiklassischen Strategie nähern, allerdings nicht über die Matrixelemente, sondern über die Spuren seiner Potenzen, tr F^{n}, und unter Benutzung periodischer Bahnen.