6 2 Der periodisch getriebene Kreisel

es genau eine Darstellung. In ihr ist die Länge des Drehimpulses zu J^{2} = j(j + 1) und die Hilbertraumdimension zu N = 2j + 1 festgelegt.

Eine mögliche Hilbertraumbasis zu festem j besteht aus den Eigenzuständen |j, m⟩ von J_{z}, mit m = −j, −j + 1, …, j − 1, j und

J_{z}|j, m⟩ = m|j, m⟩ ,  (2.2)
J^{2}|j, m⟩ = j(j + 1)|j, m⟩ .  (2.3)

Da J^{2} mit jeder einzelnen Drehimpulskomponente und somit auch mit dem Hamiltonoperator vertauscht, bildet die Länge des Drehimpulses eine Erhaltungsgröße, J^{2} = const. Die zeitliche Entwicklung findet somit effektiv in den irreduziblen Unterräumen statt, auf die man sich bei der Beschreibung des dynamischen Verhaltens beschränken kann. Die Hilbertraumdimension des dadurch erhaltenen Systems ist endlich; Operatoren haben ein diskretes, endliches Spektrum. Dies wird sich im Hinblick auf die semiklassische Bestimmung des Spektrums des stroboskopischen Zeitentwicklungsoperators als sehr vorteilhaft erweisen.

2.1.2 Die stroboskopische Beschreibung periodisch getriebener Systeme

Der unitäre Zeitentwicklungsoperator U(t′; t) beschreibt die zeitliche Entwicklung eines Zustandes gemäß

|ψ(t′)⟩ = U(t′; t)|ψ(t)⟩ . (2.4)

Im Falle eines N–dimensionalen Hilbertraums läßt er sich bezüglich einer Orthonormalbasis als unitäre N × N–Matrix auffassen. Seine Beziehung zum Hamiltonoperator ergibt sich aus der Differentialgleichung iℏU̇(t; 0) = H(t)U(t; 0) mit der Randbedingung U(0; 0) = ˆ1I. Er gehorcht zudem der Halbgruppeneigenschaft

U(t′′; t) = U(t′′; t′)U(t′; t) . (2.5)

Besitzt der Hamiltonoperator H(t) eine periodische Zeitabhängigkeit,

H(t + T) = H(t) (2.6)

mit der Periode T, so schlägt sich dies in der Beziehung

U(nT; 0) = U^{n}(T; 0) ≡ F^{n} (2.7)

für den Zeitentwicklungsoperator nieder: Die Dynamik über mehrere Perioden hinweg wird durch die Potenzen des Zeitentwicklungsoperators F für eine Periode vermit-