146 6 Diskussion der Resultate und offene Fragen

turfunktion C_{n} ≡ ⟨| tr F^{n}|^{2}⟩. Das Mittel ist entweder über ℏ (also j) oder ein Gebiet im Parameterraum zu nehmen. Für einen ausgeprägt chaotischen Kreisel ohne Zeitumkehrinvarianz wächst C_{n} = n bis n = N linear an und bleibt dann konstant, C_{n} = N für n ≥ N. Dies steht im Einklang zur Zufallsmatrixtheorie [55]. Das lineare Anwachsen bis zur Heisenbergzeit läßt sich semiklassisch aus der Hannay–Ozorio-de-Almeida–Summationsregel verstehen [30,102]. Es wird vermutet, daß für größere Zeiten Korrelationen zwischen periodischen Bahnen eine Rolle spielen. Während man zur Zeit aktiv nach klassischen Korrelationen Ausschau hält, bietet sich auch ein zweites Erklärungsmuster an: Es mag — selbst für vollständig chaotische Systeme — sein, daß nach der Heisenbergzeit die skalierte Wirkungsdifferenz benachbarter Bahnen nicht mehr groß genug ist, um mit der üblichen Näherung der stationären Phase auszukommen. Möglicherweise ist dann die Erzeugende auf der Skala ℏ = \frac{1}{N} eine nur schwach veränderliche Funktion, und das Phasenraumintegral kann durch ein ergodisches Mitteln durchgeführt werden. Die durch die Unzahl der periodischen Bahnen herrührenden Fluktuationen bewegen sich nach dieser Hypothese für große Zeiten unterhalb der Skala \frac{1}{N} und spielen keine Rolle mehr. Dadurch lassen sich Skalierungseigenschaften folgern, die überprüft werden sollten.

Die Selbstinversitätsbeziehung und die Kenntnis der exakten Determinante erlauben es, sich auf die Dynamik bis zur Hälfte der Heisenbergzeit zu beschränken. Um sich von der exakten Determinante zu lösen, bedarf es sicher noch einiger Anstrengungen. Es bleibt festzuhalten, daß die Determinante mit dem Kunstgriff der Faktorisierung auch semiklassisch exakt bestimmbar ist. Sowohl die reine Drehung als auch die reine Torsion lassen sich nämlich mittels periodischer Bahnen oder EBK–Quantisierung fehlerlos behandeln.

Bei der Frage nach dem zeitlichen Gültigkeitsbereich der Semiklassik wie auch bei den Kaskaden und der Abschätzung der benötigten Kodimension mögen Techniken aus der Renormierungstheorie hilfreich sein. In allen drei Fällen würde man sich auf das Verhalten der mit N skalierten Wirkungsdifferenz im gemeinsamen Grenzfall N = t → ∞ interessieren. Die Verknüpfung der beiden Grenzübergänge ist durch die Heisenbergzeit gegeben.

Fraglich bleibt, ob sich in einer konkreten Anwendung das Auffinden und Zuordnen einer Unzahl periodischer Bahnen soweit automatisieren läßt, daß der Aufwand halbwegs in Grenzen gehalten wird. Es gibt andererseits semiklassische Techniken, die auf periodische Bahnen verzichten und mit deutlich weniger klassischer Information auskommen [24,25,103,104]. Wie läßt sich der Informationsüberschuß verstehen, und wie kann man seiner Herr werden? Auch wenn kein Ansatz erkennbar ist, scheint eine Klärung allemal wünschenswert.

Die hier betrachtete Kreiselversion zeichnet sich durch die Abwesenheit aller geometrischer Symmetrien aus und ist auch nicht zeitumkehrinvariant, wenn man mal vom integrablen Fall absieht. Sehr leicht lassen sich jedoch die Parameter so wählen, daß Symmetrien auftreten. Dadurch treten weitere Typen von Bifurkationen auf, die erst in