jener Bifurkationen gebildet, in deren Nähe sich das System im Parameterraum gerade befindet. Die Bahnen eines Clusters tragen gemeinsam zur Spur des Propagators bei.

Bei den Bifurkationen haben wir lokale Bifurkationen von globalen unterschieden, wobei letztere mit Stokesübergängen verknüpft sind. Die Bifurkationen haben wir weiter in ihrer Komplexität nach ihrer Kodimension klassifiziert. Die Bifurkationen der Kodimension eins treten bei einer einparametrigen Studie eines Systems auf und sind in diesem Sinne generisch. Mit Bifurkationen der Kodimension zwei können auch die wichtigsten Sequenzen generischer Bifurkationen beschrieben werden. Für höhere Potenzen der Spur ist mit dem exponentiellen Anwachsen der Zahl periodischer Bahnen eine andauernde Erhöhung der benötigten Kodimension denkbar. Die Normalformen sollten sich mittels der Mitnahme höherer Resonanzen in der Störungsreihe der Hamiltonfunktion ergeben. Der Schritt von der Normalform der Hamiltonfunktion zu der Erzeugenden im Vorfeld solcher Untersuchungen bedarf sicher noch einiger technischer Vereinfachungen.

Ein eng verwandtes Thema sind Kaskaden von Bifurkationen. Dies sind Abfolgen, die sich erst durch Iteration von Normalformen beschreiben lassen. Als Beispiel mag die Abbildung gelten, die hinter der Normalform (3.113) für Tangentenbifurkationen steht. Sie läßt sich in eine Form bringen, die man auch unter dem Namen ”quadratische Abbildung“ kennt und gerne benutzt wird, um Kaskaden von Periodenverdopplungen im Anschluß an eine Tangentenbifurkation zu beschreiben [77, Kapitel 3.8.2]. Im Rahmen dieser Arbeit konnten solche Kaskaden in allen Fällen durch ein Umordnen der Cluster bei einem Wert des Kontrollparameters zwischen den Bifurkationen behandelt werden. Unter weiteren Iterationen der Abbildung ist aber zu erwarten, daß dies nicht mehr ausreicht.

Direkt knüpft sich die Frage nach dem semiklassischen Fehler an. Selbst eine Abschätzung fällt schwer. Es ist wenig über die Korrekturterme in höheren Ordnungen der Planckschen Konstanten bekannt. Sie sind in jedem Fall nicht mehr kanonisch invariant und führen in die Richtung einer vollständigen asymptotischen Entwicklung der Propagatorspur. Letztendlich sollte es gelingen, sogar zu einem formal exakten Ergebnis zu gelangen.

Schon auf der ersten Stufe dieser Entwicklung, auf die wir uns hier beschränkt haben, bleibt offen, bis zu welchen Zeiten man sich auf die Semiklassik verlassen kann. Sinnvoll scheint eine Zeit in der Größenordnung der Heisenbergzeit, in der Größenordnung des Inversen der Planckschen Konstanten also. Beim Kreisel ist sie mit t_{h} = \frac{1}{N} = \frac{1}{2j+1} mit der Darstellungsdimension verknüpft.

Statistische Eigenschaften des Energiespektrums sind in dieser Arbeit gänzlich ausgeklammert worden. Viele Eigenschaften chaotischer Systeme lassen sich mit der Zufallsmatrixtheorie beschreiben [21,52–54]. Ansätze, den Zusammenhang auch streng zu begründen, sind in jüngster Zeit auf immer größeres Interesse gestoßen [94–101]. So steht in diesem Zusammenhang noch eine Klärung des semiklassischen Ursprungs des Verhaltens mancher Größen nach der Heisenbergzeit aus. Ein Beispiel ist die Struk-