144 6 Diskussion der Resultate und offene Fragen

6 Diskussion der Resultate und offene Fragen

In dieser Arbeit hat sich gezeigt, daß man auch für Systeme mit einem gemischten Phasenraum zuverlässige Spektren aus periodischen Bahnen erhalten kann. Selbst für moderate Werte der Quantenzahl j, die sich für den periodisch getriebenen Kreisel als Inverse der Planckschen Konstanten ausnimmt, gelingt die Bestimmung der Lage der Quasienergieniveaus bis auf einen kleinen Prozentsatz ihres mittleren Abstands. Dieser schöne Erfolg beruht auf dem Zusammenwirken einer Vielzahl verschiedener Erkenntnisse, wobei jedes Gebiet zu weiteren Anstrengungen auffordert, im besseren Sinne sogar einlädt.

Die semiklassische Näherung an sich beruht auf der Auswertung des Phasenraumintegrals (4.39) für die Spur des Propagators mittels der Methode des stärksten Abklingens. Die periodischen Bahnen bilden das Gerüst jener Gebiete, aus denen das Integral auf einer geeignet deformierten Integrationsmannigfaltigkeit seine größten Beiträge erhält. Der Startausdruck der Semiklassik leidet jedoch unter ein paar Defekten (die zum Glück durch das weitere Voranschreiten zum größten Teil gegenstandslos werden). So ist der Integrand nicht invariant unter kanonischen Transformationen. Selbst das Vertauschen von Ort und Impuls (q → P, p → −Q) führt auf einen veränderten Ausdruck. Mit kanonischen Transformationen verschieben sich auch die Kaustiken und damit die Gebiete, in denen der Integrand eine schlechte Näherung beschreibt. Wünschenswert wäre ein Ausdruck, der solche pathologischen Gebiete umgeht. Zum Teil mag dies schon automatisch mit der Deformation der Integrationskontur geschehen. Es gibt aber auch vielversprechende Ansätze wie die Wignerdarstellung des Propagators, in denen Ort und Impuls gleichberechtigt nebeneinanderstehen [80,93]. Oder sollte man zum Pfadintegralausdruck zurückgehen?

Die vier wesentlichen Eigenschaften der periodischen Bahnen (Länge, Wirkung, Stabilität, Maslovindex) sind invariant unter kanonischen Transformationen. Offen bleibt, ob dies auch für die Topologie der verschobenen Integrationsmannigfaltigkeit gilt. Sind die relevanten Geisterbahnen zum Beispiel in jedem kanonischen Koordinatensystem gleich? Eine negative Antwort auf diese Fragestellung wäre überraschend, doch es bleibt noch verborgen, in welchen Eigenschaften die Bejahung schlummert. Insgesamt ist auf der Stufe des Phasenraumintegrals (4.39) die Suche nach dem günstigsten Anfangsausdruck nicht abgeschlossen. Hätte man einen solchen Ausdruck, so wäre es sicher interessant, das Integral direkt auszuwerten.

Wir haben uns geeigneter Normalformen bedient und gleichförmige Näherungen konstruiert, um kanonisch invariante Beiträge aus den Gebieten um die periodischen Bahnen herum zu erhalten. Dabei halfen die klassische Störungstheorie und Ansätze aus der Katastrophentheorie, Normalformen herzuleiten und die kollektiven Beiträge eng benachbarter Bahnen zu finden. Cluster aus periodischen Bahnen wurden anhand