140 5 Spuren und Spektren des Kreisels

gehensweisen erhaltenen Quasienergien in Abbildung 46(c) weichen daher nur wenig voneinander ab; ihr relativer Fehler in Abbildung 46(d) bewegt sich zwischen zwei und sechs Prozent.

5.5.2 Die Spuren und Spektren für j = \frac{3}{2}

Die ersten beiden Spuren und ihr absoluter Fehler sind für j = \frac{3}{2} in den Abbildungen 47(a)–(c) dargestellt. Zur Entschlüsselung der Quasienergien kann man wie bei j = \frac{1}{2} den Koeffizienten a_{4} entweder selbstinvers aus

a_{4} = \frac{a_{2}}{a_{2}^{∗}} (5.39)

mit

a_{2} = \frac{1}{2} [(tr F)^{2} − tr F^{2}] (5.40)

bestimmen oder die exakte Determinante a_{4} = det F benutzen. Mit der erstgenannten Vorgehensweise sind keine guten Ergebnisse zu erzielen: Wie in Abbildung 47(d) deutlich wird, erhält man für manche Werte von k völlig unsinnige Phasen von a_{4}. Dies liegt in der Verknüpfung zweier Ursachen begründet: Zum einen läßt sich die zweite Spur für den aktuellen kleinen Wert von j nicht sehr genau approximieren; zum anderen ist an den genannten Werten von k der Koeffizient a_{2} dem Betrag nach verhältnismäßig klein und damit in der Phase gegen Näherungsfehler besonders empfindlich. Dabei spielt eine Rolle, daß — anders als bei j = \frac{1}{2} — der mittlere Koeffizient hier und für größere Werte von j eine Kombination mehrerer Spuren ist und insbesondere Summen und Differenzen auftauchen. Den Koeffizienten a_{4} benutzt man in beiden Strategien weiter, um auch a_{3} selbstinvers zu bestimmen. In den Quasienergien [Abb. 47(e)] macht sich der Phasenfehler des Koeffizienten a_{4} in der ersten Strategie durch einen Zuordnungswechsel der semiklassischen zu den quantenmechanischen Niveaus bemerkbar, in dessen Umgebung der relative Fehler [Abb. 47(e)] der Quasienergien sehr groß wird. Mit der exakten Determinante ist das Ergebnis erneut ausgesprochen gut (die Niveaus lassen sich kaum von den exakten unterscheiden) und übersteigt nirgends drei Prozent.

5.5.3 Die Spuren und Spektren für j = \frac{5}{2}

In den Abbildung 48(a)–(c) finden sich die ersten drei Spuren, die man zur Bestimmung der Quasienergien für j = \frac{5}{2} benötigt. Für j = \frac{5}{2} führt die semiklassische Bestimmung des Koeffizienten a_{6} aus der Selbstinversitätsbeziehung wie bei j = \frac{3}{2} nicht überall zu einer befriedigenden Näherung: Im Intervall 0 ≤ k ≤ 8 trifft man einmal auf einen Zuordnungswechsel der Niveaus, verbunden mit einem stark erhöhten relativen Fehler der Quasienergien. Auf die Darstellung dieses Ergebnisses wird hier verzichtet. Wir