Quantenmechanische Beschreibungsweise 5

2 Der periodisch getriebene Kreisel

Systeme mit einem klassischen Freiheitsgrad, die zeitlich periodisch getrieben werden, stellen den einfachsten Fall im allgemeinen nichtintegrabler Systeme dar. Sie besitzen in der Regel einen gemischten Phasenraum. Eine schon häufig untersuchte Klasse solcher Systeme, gerne auch versehen mit dem Namen ”periodisch getriebener Kreisel“, basiert auf der Dynamik eines Drehimpulsvektors J konstanter Länge [19–29].

Wir stellen im Laufe dieses Kapitels eine bestimmte mit einem Kontrollparameter behaftete Kreiselvariante vor, anhand derer der Übergang von klassisch regulärem, integrablem Verhalten hin zu ausgeprägtem Chaos untersucht werden soll, und diskutieren einige ihrer quantenmechanischen und klassischen Eigenschaften.

2.1 Quantenmechanische Beschreibungsweise

Wir wollen zunächst einige grundlegende Eigenschaften periodisch getriebener Kreisel aufzeigen, die sich aus dem bloßen Umstand ergeben, daß sie durch die Komponenten J_{x}, J_{y}, J_{z} eines Drehimpulsvektors J konstanter Länge beschrieben werden. Diese Eigenschaften sind vor allem algebraischer Natur und betreffen etwa die Struktur des Hilbertraums. Sie folgen zwangsläufig aus den Kommutatorrelationen

[J_{k}, J_{l}] = iε_{klm}J_{m} , (2.1)

der sogenannten Drehimpulsalgebra, und dem Umstand, daß der Hamiltonoperator Ĥ selbst eine Funktion dieser Komponenten ist. Wir haben hier übrigens formal ℏ = 1 gesetzt und werden später sehen, daß die effektive Plancksche Konstante mit der Länge des Drehimpulsvektors verknüpft ist.

Für zeitlich periodisch getriebene Systeme wie den im Rahmen dieser Arbeit betrachteten liegt ferner eine stroboskopische Beschreibungsweise nahe. In ihrem Rahmen interessiert man sich für den Zustand des Systems zu diskreten Zeiten im Abstand einer Periodendauer. Die Zeitentwicklung des Systems über eine Periode hinweg wird quantenmechanisch durch den unitären Floquetoperator F beschrieben. Wir werden seine Bedeutung in einem weiteren Paragraphen dieses Abschnitts näher studieren und dann unsere Kreiselvariante vorstellen.

2.1.1 Die Drehimpulsalgebra und der Hilbertraum

Die Drehimpulsalgebra ist die generierende Algebra der Drehgruppe SU(2). Der Hilbertraum der einen Drehimpuls charakterisierenden Zustände zerfällt in die irreduziblen Darstellungsräume dieser Gruppe. Für jeden Wert 0, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, … der Quantenzahl j gibt