138 5 Spuren und Spektren des Kreisels

rameters in einer sogenannten vermiedenen Kreuzung sehr nahe kommen. Dann reicht schon ein kleiner semiklassischer Fehler, um die Unitaritätsbedingungen für die Spuren zu verletzen. Immerhin passiert dies nicht zwangsläufig, wie sich etwa an der extrem engen Annäherungen zweier Levels bei k ≈ 2.5 zeigt. Im gemischten Phasenraum kommt einem in dieser Hinsicht auch nicht die für stark chaotische Systeme wohlbekannte Niveauabstoßung zur Hilfe. Die Tendenz zur Niveauhäufung wie in integrablen Systemen ist für kleine Werte von k noch zu verspüren.

Abgesehen von der Entartung vermag die beste vorgestellte Näherung das exakte Verhalten der Niveaus überaus gut zu reproduzieren. Klammert man die entarteten Levels aus, so übersteigt der Fehler der restlichen nicht sechs Prozent. In weiten Bereichen liegt er unter vier Prozent.

5.5 Spuren und Spektren für halbzahliges j

Für halbzahliges j = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2} … muß man beachten, daß sich eingeschobene Drehungen um einen Winkel von 2π in einem Vorzeichenwechsel des Floquetoperators niederschlagen. Darauf sind wir in den Abschnitten 4.1.3 und 5.4.1 eingegangen. Anders gesagt ist der Windungszahl des Drehimpulsvektors um die jeweilige Drehachse Beachtung zu schenken. Dies überträgt sich auch auf die Beiträge periodischer Bahnen. So bringt die Drehung um 2π einen Wirkungszuwachs von ebenfalls 2π [Gleichung (5.11)], verknüpft mit dem Durchschreiten zweier Kaustiken und dem Anwachsen des Morse- und Maslovindex um 2 [m′ aus Gleichung (5.16) in Verbindung mit Gleichung (5.18)]. In der Kombination

(j + \frac{1}{2}) S − \frac{π}{2} ν , (5.37)

die die Phase semiklassischer Beiträge bestimmt, heben sich diese beiden Zuwächse für ganzzahliges j gerade weg. Für halbzahliges j jedoch ändert sich die Phase um π, der Beitrag der Bahn wechselt also sein Vorzeichen. Dies ist bei der Verwendung der Formeln aus den Abschnitten 3.1.1 und 3.1.6, nach denen sich die Wirkung und der Maslovindex zusammensetzt, zu berücksichtigen. Insbesondere muß man in den Gleichungen (3.11) und (4.42) den richtigen Funktionszweig der in der Wirkung auftretenden Arkuskosinus- und (komplexen) Logarithmusfunktionen festlegen.

Im folgenden werden wir die Spektren und die zu ihrer Bestimmung benötigten Spuren für j = \frac{1}{2}, \frac{3}{2} und \frac{5}{2} vorstellen. Dabei stellt sich unter anderem heraus, daß man nur für j = \frac{1}{2} auf die Verwendung der exakten Determinante verzichten kann. Unter ihrer Benutzung erhält man in allen Fällen gute Spektren.