136 5 Spuren und Spektren des Kreisels

sich abgesehen von einer Ausnahme im Intervall bei k ≈ 4 − 6 aller Entartungen und erratischen Abweichungen entledigen. Dort sowie bei k = 8 ist der mittlere Fehler um einige Prozent erhöht. Ansonsten liegt er bei weniger als vier Prozent.

Der Qualitätsverlust bei k = 8 ist auf die enge Abfolge der Tangentenbifurkation [^{2}/_{1}]_{4} bei k = 8.12 … und des Stokesüberganges des zugehörigen Geistes bei k = 7.98 … zurückzuführen, mit der wir uns bereits in den Abschnitten 5.1.5 und 5.2.2 auseinandergesetzt haben. Wie beim Wirkungsspektrum und der Spur verbessert sich das Ergebnis deutlich, wenn man gemäß Abschnitt 4.6.1 auf den Beitrag der Kodimension zwei zurückgreift, der den dominanten Orbit mit einschließt. Auch für k < 2 gewinnt man an Genauigkeit, was dort aus der Verbesserung von tr F herrührt. In einem großen Parameterbereich erhält man so einen relativen Fehler von knapp zwei Prozent. Selbst mit der Näherung der Kodimension zwei läßt sich jedoch die Entartung der Quasienergieniveaus im Intervall k ≈ 4−6 nicht beheben. Möglicherweise liegt dies daran, daß auch die exakten Quasienergieniveaus dort eng beieinander liegen. Es kann aber auch vermutet werden, daß sich bei einer Erhöhung der Kodimension das Resultat weiter verbessern ließe.

5.4.5 Die sieben Quasienergieniveaus für Quantenzahl j = 3

Für die Gewinnung des Spektrums für j = 3 muß neben den ersten beiden Spuren tr F und tr F^{2} und der Determinante auch die dritte Spur tr F^{3} herangezogen werden. Bei dieser Spur waren für enge Abfolgen von Tangentenbifurkationen und Periodenverdreifachungen Cluster der Kodimension zwei angesagt. Für den Bereich ab k ≈ 2.8 lohnte sich zudem die Anordnung von vier Orbits als doppelt gebrochener Torus.

Während sich so die Spuren immer genauer approximieren lassen, schlägt sich gerade die letzte Verbesserung nicht in einem völlig befriedigenden Maße im Spektrum nieder. Nach Abbildung 45 ist die Näherung mit Kodimension zwei jener mit Kodimension eins überlegen, und diese wiederum der isolierten Approximation. Die übrigbleibenden Phasenentartungen lassen sich jedoch auch mit dem Doppeltorusbeitrag nicht gänzlich aus der Welt schaffen. Fürs Auge verhält sich das Spektrum immerhin ein wenig regulärer als ohne diesen Beitrag. Wie schon bei der Diskussion der dritten Spur erwähnt, liegt insbesondere für den Bereich k < 2.8 Hoffnung in einer weiteren Erhöhung der Kodimension. Die Schuld an der Phasenentartung läßt sich aber nicht gänzlich auf die dritte Spur abwälzen. Benutzt man anstatt der genäherten die exakte, nähert man also nur die ersten beiden Spuren semiklassisch, so bleibt die Phasenentartung im k–Bereich zwischen eins und drei bestehen. Nur die weitere Entartung in der Folge läßt sich so fast vollständig beheben. Dies zeigt die Empfindlichkeit der Näherung: Schließlich trat etwa bei j = 2 im hier verbleibenden Entartungsbereich keine Entartung auf. Die beiden ersten Spuren waren dort sogar für einen Fehler von etwa zwei Prozent gut. Insgesamt scheint die semiklassische Entschlüsselungsstrategie dann am meisten gefährdet zu sein, wenn sich exakte Niveaus als Funktion des Kontrollpa-