132 5 Spuren und Spektren des Kreisels

Abbildung 41: Vergleich der semiklassisch approximierten und exakten Quasienergien für j = 1 als Funktion von k. Die Näherungen lösen sich auf die im Text beschriebene Weise vom Gebrauch der Selbstinversitätsbeziehung (4.4) bzw. der exakten Determinante (5.6).

und k = 8.81 … liefern die beiden Näherungen auf der Basis isolierter Beiträge zu tr F unbefriedigende Ergebnisse. Die Näherung, welche Geister und deren Stokesübergänge berücksichtigt, ist dabei links der Bifurkationen der Näherung ohne jede Geisterbeiträge leicht überlegen. Quantitativ schlägt sich dies in einem geringeren mittleren relativen Fehler nach Gleichung (5.7) nieder. Er ist in Abbildung 40 dargestellt. In Abbildung 39 fällt bei den isolierten Näherungen die Entartung zweier Niveaus bei k ≈ 9 ins Auge. Dort verletzen die semiklassischen Spuren die über die Selbstinversität hinausgehenden Unitaritätsbedingungen [92]: Zwei Eigenwerte liegen nicht mehr auf dem Einheitskreis, sind jedoch durch eine Spiegelung am Einheitskreis miteinander verknüpft und daher in ihrer Phase entartet.

Kommen wir nun zu den kollektiven Näherungen. Die Abbildungen für die Lage der Niveaus und den Fehler zeigen, daß man mit kollektiven Beiträgen der Kodimension eins bereits eine sehr schöne Übereinstimmung mit dem exakten Resultat erreicht. Die Phasenentartung bei k ≈ 9 ist verschwunden. Der Fehler der Quasienergien beträgt im gesamten k–Bereich nur einige Prozent ihres mittleren Abstands. Behandelt man den Stokesübergang des an der ersten Tangentenbifurkation beteiligten Geistes mit einem vergrößerten Cluster der Kodimension zwei, so verbessert sich das Ergebnis im Bereich k = 0.5–3, auf den diese Bemühung abzielt, sogar noch um einige Prozent. So drückt man den Fehler im gesamten Parameterbereich auf weniger als zwei Prozent.