130 5 Spuren und Spektren des Kreisels

gerade die beiden Beiträge

ℐ^{(±)} = \frac{i}{2 sin \frac{k}{2}} exp [−iJ \frac{k}{2}] (5.27)

der Fixpunkte an den Polen. Tatsächlich sind diese Bahnen durch

S^{(±)} = −\frac{k}{2} ,  (5.28)
tr M^{(±)} = 2 cos k ,  (5.29)
ν^{(±)} mod 4 = − sign sin \frac{k}{2}  (5.30)

charakterisiert, die Beiträge (5.27) stellen sich also als solche isolierter periodischer Bahnen (4.48) dar.

Wie man sich bei der quadratischen Form des Exponenten in (5.22) denken kann, ist die semiklassische Näherung (4.104) für das betrachtete Integral sogar exakt. Der Weg von (5.22) zu (4.104) führt über eine partielle Integration, die

∫ exp [i\frac{a}{2}X^{2}] dX = \frac{1}{iaX} exp [i\frac{a}{2}X^{2}] + \frac{1}{ia} ∫ \frac{dX}{X^{2}} exp [i\frac{a}{2}X^{2}] (5.31)

liefert. Das Integral rechts divergiert jedoch, falls die Singularität des Integranden bei X = 0 in den Integrationsbereich fällt. Mittels dreier Fallunterscheidungen a < b < 0, a < 0 < b, 0 < a < b überlegt man sich leicht die Identitäten

∫_{a}^{b} = [Θ(b) − Θ(a)] ∫_{−∞}^{∞} + ∫_{a}^{∞ sign a} − ∫_{b}^{∞ sign b}  (5.32)

= [Θ(b) − Θ(a)] ∫_{−∞}^{∞} + sign a ∫_{|a|}^{∞} − sign b ∫_{|b|}^{∞}  (5.33)

(letztere für symmetrische Integranden), mit denen die Singularität umschifft werden kann. Das zweite und das dritte Integral rechts liefern nach der partiellen Integration die Rand- und Interferenzterme, während das erste Integral direkt auf den Berry– Tabor–Term führt.

5.4.3 Die drei Quasienergieniveaus für Quantenzahl j = 1

Zur Bestimmung der drei Quasienergien für j = 1 benötigen wir die Spur tr F, mit der wir uns in Abschnitt 5.2.1 ausführlich beschäftigt haben, und die Determinante det F (Gleichung 5.6). In Abbildung 39 sind semiklassische Quasienergien als Funktion von k aufgetragen. Sie werden jeweils mit dem quantenmechanisch exakten Resultat verglichen. Insbesondere in der Nähe der Tangentenbifurkationen [^{1}/_{1}]_{1,2} bei k = 2.45 …