4 1 Einleitung und Übersicht

semiklassischen Grenzfall. Der Schlüssel zu Ausdrücken mit einem sinnvollen semiklassischen Verhalten in beliebiger Entfernung zur Bifurkation liegt in der Konstruktion gleichförmiger Näherungen. Dabei muß man sich die Normalformen nochmals genauer anschauen und auch Terme höherer Ordnung in der Störungsentwicklung betrachten. Die Beiträge lassen sich in vielen Fällen sogar in eine geschlossene Form bringen und sind ansonsten mittels numerischer Methoden zugänglich [26,27,37]. Die Normalformen und Diffraktionsintegrale stehen in enger Beziehung zur Katastrophentheorie, die bei unseren Überlegungen häufig im Hintergrund steht [46–51].

Im numerischen Kapitel 5 werden die Beiträge zunächst im Detail anhand des Kreisels getestet. Als Testwerkzeug benutzen wir das sogenannte Wirkungsspektrum. So lassen sich einzelne Beiträge individuell auf ihre Güte hin untersuchen. Es zeigt sich, daß die verschiedenen Beiträge in der gleichförmigen Näherung hinreichend großer Kodimension von guter Qualität sind. Sie sind in der Regel mit einem Fehler der Ordnung der effektiven Planckschen Konstanten (j + \frac{1}{2})^{−1} versehen. Die lokalen Näherungen versagen ebenso wie die isolierte Näherung nach Gutzwiller.

Dann trauen wir uns an die Spuren des Floquetoperators heran. Wie beim Wirkungsspektrum untersuchen wir sowohl den gesamten Übergang von Integrabilität zu ausgeprägtem Chaos als auch den semiklassischen Grenzfall im Detail. Insbesondere zeigen wir im Vergleich verschiedener Stufen der semiklassischen Näherung, daß die unternommenen Anstrengungen unausweichlich sind. In den besten Näherungen, den gleichförmigen Näherungen mit hinreichend großer Kodimension, wird man zum Trost zu guten Ergebnissen geführt.

Aus den Spuren lassen sich schließlich die Energieniveaus bestimmen. Wir erlangen Resultate für die Quantenzahlen j = \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, …, 3. In den aufwendigsten Näherungen stimmen sie gut mit den exakten überein. Die mittlere Abweichung der Energien beträgt nur wenige Prozent ihres typischen Abstands. Für zwei integrable Kreiselvarianten stimmen die semiklassischen Spuren und Niveaus sogar mit den exakten überein.

Die Ergebnisse werden im abschließenden sechsten Kapitel diskutiert. Dort werden insbesondere offene Fragen zur Sprache gebracht. Die spannendste ist sicher, wie sich die Güte des Spektrums und der zu seiner Gewinnung zu betreibende Aufwand im weiteren Zusteuern auf den klassischen Grenzfall verhält.