Spektren 129

Wir beginnen mit einem exakten Ausdruck und verwenden sogleich die Poissonsche Summationsformel (4.12),

tr T_{z}(k) = ∑_{m=−j}^{j} exp [−i\frac{k}{2j + 1}m^{2}]

= J ∑_{n=−∞}^{∞} ∫_{−1}^{1} dZ exp [iJ (2πnZ − \frac{k}{2}Z^{2})] exp [i (J − \frac{1}{2}) 2πn] . (5.22)

Die letzte Exponentialfunktion alterniert für halbzahliges j und berücksichtigt damit den Wechsel von der halbzahligen kleinen Quantenzahl m zum ganzzahligen n. Hier bietet sich bereits eine Interpretation als Summe von Beiträgen periodischer Bahnen auf rationalen Tori an: Jedes Integral besitzt genau einen stationären Punkt bei

Z = Z_{n} ≡ \frac{2πn}{k} , (5.23)

also gerade dort, wo die Tori mit Windungszahl n liegen. Auch Geistertori mit |Z_{n}| > 1 treten auf. Die Wirkung der Tori ist

S_{n} = \frac{2π^{2}n^{2}}{k} . (5.24)

Doch wo bleiben in diesem Bild die beiden Fixpunkte auf der z–Achse? Ihre Beiträge sind in den endlichen Integrationsgrenzen versteckt. Um sie explizit sichtbar zu machen, beginnen wir mit der semiklassischen Betrachtungsweise und benutzen die Näherung (4.104). Da beide Integrationsgrenzen endlich sind, schreiben wir (formal) ∫_{−1}^{1} = ∫_{−1}^{∞} − ∫_{1}^{∞} und erhalten für jeden Torus den Beitrag

ℐ^{(n)} ≡ \sqrt{−\frac{2πiJ}{k}} exp [iJ(S_{n} + 2πn)] (−1)^{n} [Θ(Z_{n} + 1) − Θ(Z_{n} − 1)]  (5.25)

+\frac{i}{k} exp [iJ(S_{n} + 2πn)] (−1)^{n} \{( ∫_{Z_{n}−1}^{∞ sign(Z_{n}−1)}− ∫_{Z_{n}+1}^{∞ sign(Z_{n}+1)}) \frac{dX}{X^{2}} e^{−iJ \frac{k}{2} X^{2}} \} .

Der erste Term ist gerade der Berry–Tabor–Term (4.119). Er trägt nur bei, falls der Torus kein Geist ist. Es folgen Interferenzterme wie in (4.101). Die verbleibenden Randterme ergeben mithilfe der Identität

\frac{1}{sin x} = ∑_{n=−∞}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{x − πn} (5.26)