128 5 Spuren und Spektren des Kreisels

Schreiben wir

nβ = β′ + 2πm′ mit \{ \begin{matrix}β′ ∈ [0, 2π) für & β > 0 \\ β′ ∈ (−2π, 0] für & β < 0 \end{matrix} , (5.16)

so ist

m̃ = 2m′ + sign β − \frac{1}{2} sign sin(nβ)[1 + sign cos(nβ)] (5.17)

und weiter

ν_{σ}^{(n)} = −σ(2m′ + sign β) . (5.18)

Mit diesen Größen ist semiklassisch

tr F^{n} = ∑_{σ=±1} |2 − tr M_{σ}^{(n)}|^{−1/2} exp [iJnS_{σ} − i\frac{π}{2} ν_{σ}^{(n)}]

= \frac{sin(Jnβ)}{| sin(nβ/2)|}(−1)^{m′} sign β .  (5.19)

Wegen sign sin(nβ/2) = (−1)^{m′} sign β erhalten wir tatsächlich das exakte Resultat (5.10) zurück.

5.4.2 Die reine Torsion

Mit der reinen Torsion wollen wir einen weiteren interessanten Sonderfall unserer Kreiselvariante betrachten. Als Floquetoperator wählen wir (2.11)

F = T_{z}(k) = exp [−i\frac{k}{2j + 1}J_{z}^{2}] . (5.20)

Er beschreibt wie die reine Drehung ein integrables System. Die Tori liegen auf den Kreisen konstanter Höhe Z. Anders als bei der reinen Drehung ist die Torusfrequenz nun aber ortsabhängig,

ω(Z) = kZ . (5.21)

Da der Aufwand sich in Grenzen hält, wollen wir die reine Torsion dazu nutzen, um den gesamten Weg von der quantenmechanischen zur semiklassischen Spur im Zusammenhang darzustellen. Erneut wird das semiklassische Resultat exakt sein.