Spektren 127

5.4.1 Die reine Drehung

Wir betrachten nun die reine lineare Drehung. In diesem Fall sind die semiklassisch aus den isolierten Beiträgen der beiden Fixpunkte bei ±X̃ berechneten Spuren tr F^{n} exakt.

Das Ergebnis ist unabhängig von der Lage der Drehachse. Wir wählen hier die y–Achse und verwenden den Floquetoperator

F = exp [−iβJ_{y}] . (5.9)

Man kann die quantenmechanischen Spuren in geschlossener Form angeben,

tr F^{n} = ∑_{m=−j}^{j} exp [−inβm] = \frac{sin(Jnβ)}{sin(nβ/2)} (5.10)

mit J = j + \frac{1}{2}. Für eine Drehung um 2π + β ergibt sich übrigens für halbzahliges j ein Vorzeichenwechsel der Spuren zu ungeraden Potenzen, in Einklang mit der bekannten Tatsache, daß erst eine Drehung um 4π die Identität liefert.

Wir unterscheiden die beiden Fixpunkte bei X = (0, ±1, 0) mittels des Vorzeichens σ ≡ sign Y = ±1. Es gibt keine weiteren periodischen Bahnen für beliebige Länge n. Die Wirkung der Fixpunkte ist

S_{σ} = −σβ . (5.11)

Der Stabilitätswinkel ist σβ und der Stabilitätsfaktor

tr M_{σ}^{(n)} = 2 cos(nβ) . (5.12)

Der Morseindex μ̂^{(n)} für die n–te Wiederkehr richtet sich nach den Nullstellen von M̃_{11} = cos(βt/T) im Intervall t = 0 → nT [vgl. (3.28) mit k = 0]. Wir schreiben

nβ = β̃ + πm̃ mit β̃ ∈ (−π/2, π/2] . (5.13)

Dann gibt es |m̃| Kaustiken, und jede trägt mit dem Vorzeichenwechsel −σ sign β von M_{11}/M_{21} zu μ̂_{σ}^{(n)} bei. Wir erhalten

μ̂_{σ}^{(n)} = −σm̃ . (5.14)

Der Maslovindex ergibt sich aus (3.49) zu

ν_{σ}^{(n)} = −σm̃ − σ \frac{1}{2} sign sin(nβ)[1 + sign cos(nβ)] .  (5.15)