126 5 Spuren und Spektren des Kreisels

und für den Torsionsoperator (2.11)

det T_{l}(k) = exp [−i\frac{k}{2j + 1} ∑_{m=−j}^{j} m^{2}] = exp [−ik \frac{j(j + 1)}{3}] . (5.5)

Damit erhält man für die in Abschnitt 2.1.3 gewählte Kombination von Drehungen und Torsionen

det F = exp [−i(k_{1} + k_{2})\frac{j(j + 1)}{3}] . (5.6)

5.4 Spektren

Wir kommen nun zur Berechnung der Quasienergieniveaus aus den semiklassischen Spuren. Bei der reinen linearen Drehung und der reinen Torsion erhält man auf analytischem Wege für beliebiges j das exakte quantenmechanische Spektrum zurück. Im allgemeinen Fall k ≠ 0 werden die Niveaus durch Ziehen der Wurzeln des charakteristischen Polynoms bestimmt. In diesem Abschnitt stellen wir die Ergebnisse für j = 1, 2, 3 vor. Die Spuren und Spektren zu halbzahligem j werden in Abschnitt 5.5 besprochen.

Um die Genauigkeit der verschiedenen Näherungen zu quantifizieren, ziehen wir die Standardabweichung

Δφ = \frac{1}{2π/N} \sqrt{\frac{1}{N} ∑_{k=1}^{N} (φ_{k}^{(sk)} − φ_{k}^{(qm)})^{2}} (5.7)

mit N = 2j+1 heran. Durch den Vorfaktor werden die Abweichungen der Quasienergien auf ihren mittleren Abstand 2π/N bezogen.

Die semiklassischen Eigenwerte λ_{k} ≡ r_{k} exp[−iφ_{k}] des Floquetoperators liegen nicht immer auf dem Einheitskreis, sie sind also nicht immer unimodular (d. h. von Betrag eins). Dann mißt der Radialfehler

Δr = \sqrt{\frac{1}{N} ∑_{k=1}^{N} (r_{k}^{(sk)} − 1)^{2}} (5.8)

die Verletzung der Unimodularität. Selbst ein selbstinverses Polynom kann phasenentartete Eigenwertpaare λ_{k}, 1/λ_{k}^{∗} besitzen. Erst wenn darüber hinausgehende Bedingungen an die Spuren erfüllt sind, sind alle Eigenwerte unimodular [92].