Die Determinante des Floquetoperators 125

Abbildung 38: Absoluter Fehler | tr F_{qm}^{3}−tr F_{sk}^{3}| als Funktion von j und ein Ausschnitt aus dem Wirkungsspektrum für k = 3. Die beiden Näherungen sind im Text beschrieben. Das Wirkungsspektrum ist hier aus numerischen Konvergenzgründen mit j_{max} = 32 berechnet worden.

Satellit auf.) Auch andere Stabilitätsinseln ließen sich sicher genauer beschreiben. Der mit einer konsistenten Erhöhung der Kodimension um einen oder zwei Schritte verbundene Mehraufwand läßt es aber vertretbar erscheinen, im Rahmen dieser Arbeit davon abzusehen.

5.3 Die Determinante des Floquetoperators

Bei der Entschlüsselung des Spektrums aus den Spuren erspart einem die Selbstinversitätsbeziehung (4.4) die Hälfte der Arbeit. Zu ihrer Verwendung benötigt man die Determinante a_{N} = det F des Floquetoperators. Bei der analogen Relation für autonome Systeme [89–91] denkt man sich den zwischen langen und kurzen Zeiten vermittelnden Term meist als exakt vorgegeben. Bei unserer Kreiselvariante läßt sich die Determinante semiklassisch bestimmen und dabei sogar exakt gewinnen. Von Nutzen ist hier die wohlbekannte Tatsache, daß die Determinante eines Produkts von Operatoren durch das Produkt der einzelnen Determinanten zugänglich ist. Die linearen und nichtlinearen Torsionsoperatoren des Kreisels beschreiben jedoch jeder für sich ein integrables System, für welches eine EBK–Quantisierung durchgeführt werden kann. Dabei kommt es wiederum jeweils nur auf das Spektrum der Operatoren J_{l}, l = x, y, z an, für die die Quantisierung aber exakt ist. Die exakte Quantisierung der Teilschritte gelingt auch mittels periodischer Bahnen. Dies ist Gegenstand der Abschnitte 5.4.1 und 5.4.2. Das Resultat läßt sich sogar explizit angeben. So gilt für den Drehoperator (2.10)

det R_{l}(β) = exp [−iβ ∑_{m=−j}^{j} m] = 1 (5.4)